NAKLJUČNI PROCESI- procesi, katerih potek skozi čas je delno ali popolnoma nepredvidljiv. Teorija S. p. se uporablja za izdelavo kvantitativnih modelov realnih procesov, vključno z napovedovanjem njihovih prihodnjih vrednosti na podlagi trenutnih informacij in apriornih podatkov, za izolacijo koristne informacije ob prisotnosti motenj, ocena neizmerjenih parametrov itd.
V medicini velika številka procesov (na primer proces proliferacije tumorskih celic, število klicev reševalnih vozil itd.) se določi na naslednji način velik znesek neobvladljivih dejavnikov, da jih je priporočljivo ustrezno opisati in analizirati v okviru teorije S. p.
Matematično naključne spremenljivke predstavljajo funkcije časa, katerih vrednost v vsakem trenutku je naključna spremenljivka (glej teorijo verjetnosti). Vsak elementarni naključni dogodek ustreza določeni določeni nenaključni funkciji časa, imenovani realizacija ali trajektorija naključnega procesa. Lastnosti realizacij služijo kot glavni predmet študija teorije družbenega procesa. Te lastnosti so izražena z verjetnostjo določenih dogodkov (na primer izhod trajektorij za fiksno raven, padec v dano območje, prisotnost ali odsotnost sunkov v danem časovnem intervalu itd.). V okviru teorije statističnih procesov se rešujejo tudi nekateri statistični problemi (npr. problemi filtracije, ekstero- in interopolacije).
IN splošni primer splošno sprejeto je, da je naključni proces določen (t.j. naloga je formulirana), ko so vse skupne porazdelitvene funkcije procesnih vrednosti določene za kateri koli končni niz trenutkov v času; porazdelitvene funkcije imenujemo končnodimenzionalne porazdelitvene funkcije.
Druge nenaključne funkcije, povezane s S. p., so m(t) – matematično pričakovanje S. p., ki označuje povprečno vrednost S. p. v nizu opazovanj, in R (ti, t2 ) - korelacijska funkcija, ki označuje stopnjo odvisnosti vrednosti S. p. in različni trenutkičas (glejte Korelacijska analiza).
Osnovni razredi naključnih procesov. Ob upoštevanju velika raznolikost S. p., iz njihove celote so opredeljeni ločeni razredi in za vsak razred so razvite lastne raziskovalne metode.
Stacionarne porazdelitvene funkcije so tiste, pri katerih se vse končnodimenzionalne porazdelitvene funkcije ne spremenijo, ko se čas premakne za določeno količino. Stacionarne točke S. imajo številne značilne lastnosti: povprečna vrednost stacionarnih točk S. v vsakem trenutku je enaka, korelacijska funkcija R(t1,t2) pa je odvisna le od razlike med trenutkoma časa t1 in t2. . S.p. te vrste je mogoče predstaviti z vsoto ali integralom harmoničnih nihanj, katerih amplituda in faza sta naključni spremenljivki. Intenzivnosti harmoničnih komponent tvorijo spekter stohastičnega procesa Poseben primer stacionarnega stohastičnega procesa je ergodičen stacionarni stohastični proces: v okviru te metode se iz ene same izvedbe stohastičnega procesa pridobijo vse njegove verjetnostne značilnosti. mogoče obnoviti. Še posebej. za vsako trajektorijo ergodičnega naključnega procesa je časovno povprečje enako matematičnemu pričakovanju S.p.
Gaussove porazdelitvene funkcije so porazdelitvene funkcije, pri katerih so vse končnodimenzionalne porazdelitvene funkcije Gaussove. Za nastavitev sta potrebni samo dve funkciji - matematično pričakovanje m (t) in korelacijska funkcija R(t1, t2).
Markov S. p. imajo naslednjo lastnino: v katerem koli trenutku je prihodnost procesa odvisna samo od njegovega stanja v ta trenutekčasu in ni odvisen od njegove predzgodovine. Za določitev markovske prostorske funkcije zadošča poznavanje samo enodimenzionalnih porazdelitvenih funkcij in verjetnosti prehoda iz enega stanja v drugo. Markov S. obrazec za točke velik razred procesi, kamor uvrščamo markovske procese z neodvisnimi prirastki, difuzijske procese, skokovite markovske procese, razvejane procese itd.
Število različnih razredov statističnih metod, ki se uporabljajo pri matematičnem modeliranju realnih pojavov, se v skladu s potrebami prakse nenehno povečuje. V mediko-biol. v praksi se S. p. uporabljajo predvsem v teoretično raziskovanje, ki je povezana s kompleksnostjo matematičnega aparata, ki se uporablja pri analizi sinhronih procesov.Ustanovitelj kibernetike N. Wiener je leta 1961 s teorijo stacionarnih sinhronih procesov proučeval ritme biotokov v možganih. Kasneje so naključni procesi našli uporabo v kvantitativnih študijah v nevrofiziologiji in kardiologiji (stacionarni in difuzijski naključni procesi), onkologiji (Markovski naključni procesi razmnoževanja in smrti), v epidemiologiji in zdravstvu.
Bibliografija: Balanter B. I. Verjetnostni modeli v fiziologiji, M., 1977; Ventzel A.D. Tečaj teorije naključnih procesov, M., 1975; Wiener N. Nelinearni problemi v teoriji naključnih procesov, trans. iz angleščine, M., 1961; G in h-man I. I. in Skorokhod A. V. Teorija naključnih procesov, zvezek 2, M., 1973.
Opredelitev
,kjer poljubno množico imenujemo naključna funkcija.
Terminologija
Ta klasifikacija ni stroga. Zlasti izraz "naključni proces" se pogosto uporablja kot absolutni sinonim za izraz "naključna funkcija".
Razvrstitev
Trajektorija naključnega procesa
Naj bo podan naključni proces. Nato za vsako klicano fiksno - naključno spremenljivko prečni prerez. Če je osnovni rezultat fiksen, potem je deterministična funkcija parametra. Ta funkcija se imenuje trajektorija oz izvajanje naključna funkcija.
Primeri
je naključen proces.
Opombe
Poglej tudi
Viri
- A. A. Svešnikov. Uporabne metode teorije naključnih funkcij. - Glavni urednik fizikalne in matematične literature, 1968.
- S. I. Baskakov. Radijska/tehnična vezja in signali. - Višja šola, 2000.
Fundacija Wikimedia. 2010.
- Alpola, Antero
- Vodilna glava
Oglejte si, kaj je "naključni proces" v drugih slovarjih:
naključni proces- naključni proces verjetnostni proces stohastični proces Naključna funkcija X(t) neodvisne spremenljivke t (v ekonomiji se največkrat interpretira kot čas). Sicer … Priročnik za tehnične prevajalce
NAKLJUČNI PROCES- (verjetnostni ali stohastični), proces spreminjanja stanja ali značilnosti nekega sistema skozi čas pod vplivom različnih naključnih dejavnikov, za katere je določena verjetnost enega ali drugega njegovega poteka. Tipičen primer naključnega... Veliki enciklopedični slovar
Naključni proces- (verjetnostni, stohastični proces) naključna funkcija X(t) neodvisne spremenljivke t (v ekonomiji se največkrat interpretira kot čas). Z drugimi besedami, to je proces, katerega potek se lahko razlikuje v... ... Ekonomsko-matematični slovar
NAKLJUČNI PROCES- funkcija zveznega časa, vrednost časa v vsakem trenutku je naključna spremenljivka, t... Fizična enciklopedija
NAKLJUČNI PROCES- funkcija 2 argumentov X(t)= X(ω,t); niz elementarnih dogodkov, parameter, ki se običajno razlaga kot čas. Za vsak tX(ω,t) je funkcija samo ω in predstavlja naključno spremenljivko. Za fiksno ω X(ω,t)… … Geološka enciklopedija
Naključni proces- 1. Naključni proces Probabilistični proces Vir: GOST 21878 76: Naključni procesi in dinamični sistemi. Izrazi in definicije originalni dokument ... Slovar-priročnik izrazov normativne in tehnične dokumentacije
naključni proces- (verjetnostni ali stohastični), proces spreminjanja stanja ali značilnosti nekega sistema skozi čas pod vplivom različnih naključnih dejavnikov, za katere je določena verjetnost enega ali drugega njegovega poteka. Tipičen primer..... enciklopedični slovar
Naključni proces- (verjetnostni ali stohastični) proces (t.j. časovna sprememba stanja nekega sistema), katerega potek je lahko različen glede na primer in za katerega je določena verjetnost enega ali drugega poteka. Tipično... Velika sovjetska enciklopedija
NAKLJUČNI PROCES- (verjetnostni ali stohastični), proces spreminjanja stanja ali značilnosti določenega sistema v času pod vplivom različnih dejavnikov. naključni dejavniki, za katere je določena verjetnost enega ali drugega poteka. Tipičen primer S. p. lahko... ... Naravoslovje. enciklopedični slovar
naključni proces- tikimybinis procesas statusas T sritis chemija apibrėžtis Procesas, kuris iš anksto negali būti tiksliai nusakytas, o yra apibūdinamas jo vykimo tikimybe. atitikmenys: angl. verjetnostni proces; naključni proces; stohastični proces rus... ... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas
knjige
- , Gruzdev A.. Praktična uporaba metode strojnega učenja, ki temeljijo na priljubljenih statističnih paketih IBM SPSS Statistics, R in Python Izdelava in interpretacija odločitvenega drevesa in naključnega gozda ... Kupite za 3202 RUR
- Napovedno modeliranje v IBM SPSS Statistics, R in Python. Metoda odločitvenega drevesa in naključni gozd, Gruzdev Artem Vladimirovič. Ta knjiga predstavlja praktični vodnik o uporabi metode odločitvenega drevesa in naključnega gozda za probleme segmentacije, klasifikacije in napovedovanja. Vsak del knjige ...
Teorija naključnih spremenljivk preučuje verjetnostne pojave »v statiki«, pri čemer jih obravnava kot neke posnete rezultate poskusov. Za opis signalov, ki odražajo naključne pojave, ki se razvijajo skozi čas, metode klasična teorija verjetnosti se izkažejo za premajhne. Tovrstne probleme preučuje posebna veja matematike, imenovana teorija naključnih procesov.
Po definiciji je naključen proces posebna vrsta funkcija, za katero je značilno dejstvo, da so v katerem koli trenutku vrednosti, ki jih sprejme, naključne spremenljivke.
Ansambli izvedb.
Pri determinističnih signalih jih prikazujemo s funkcionalnimi razmerji ali oscilogrami. če govorimo o glede naključnih procesov se situacija izkaže za bolj zapleteno. S fiksiranjem trenutnih vrednosti naključnega signala v določenem časovnem obdobju dobimo samo eno izvedbo naključnega procesa. Naključni proces je neskončna zbirka takih realizacij, ki tvorijo statistično skupino. Na primer, ansambel je niz signalov, ki jih je mogoče hkrati opazovati na izhodih popolnoma enakih generatorjev hrupa.
Sploh ni nujno, da so implementacije naključnega procesa predstavljene s funkcijami s kompleksnim, časovno nepravilnim obnašanjem. Pogosto je treba upoštevati naključne procese, ki jih tvorijo na primer vse vrste harmoničnih signalov, pri katerih je eden od treh parametrov naključna spremenljivka, ki ima v vsaki izvedbi določeno vrednost. Naključna narava takega signala je v nezmožnosti poznavanja vrednosti tega parametra vnaprej, pred eksperimentiranjem.
Naključni procesi, ki jih oblikujejo izvedbe, odvisne od končnega števila parametrov, se običajno imenujejo kvazideterministični naključni procesi.
Gostote verjetnosti naključnih procesov.
Naj bo naključni proces, ki ga določa množica izvedb, in naj bo nek poljuben trenutek v času. S fiksiranjem vrednosti, pridobljenih v posameznih izvedbah, izvedemo enodimenzionalni prerez tega naključnega procesa in opazujemo naključno spremenljivko, katere gostota verjetnosti se imenuje enodimenzionalna gostota verjetnosti procesa v trenutku.
Po definiciji je količina verjetnost, da bodo realizacije naključnega procesa v določenem trenutku zavzele vrednosti, ki ležijo v intervalu
Informacije, ki jih je mogoče izluščiti iz enodimenzionalne gostote, ne zadostujejo za presojo narave razvoja realizacij naključnega procesa skozi čas. Veliko več informacij je mogoče pridobiti z dvema prerezoma naključnega procesa v različnih časovnih trenutkih. miselni eksperiment dvodimenzionalna naključna spremenljivka je opisana z dvodimenzionalno gostoto verjetnosti.Ta značilnost naključnega procesa omogoča izračun verjetnosti dogodka, ki je sestavljen iz dejstva, da izvajanje naključnega procesa pri poteka v majhnem okolici točke in pri - v majhni okolici točke
Naravna posplošitev je -dimenzionalni presek naključnega procesa, ki vodi do -dimenzionalne gostote verjetnosti
Večdimenzionalna gostota verjetnosti naključnega procesa mora izpolnjevati normalne razmere, naloženo gostoti verjetnosti niza naključnih spremenljivk (glej § 6.2). Poleg tega vrednost ne sme biti odvisna od vrstnega reda, v katerem so njeni argumenti (pogoj simetrije).
Včasih je namesto -dimenzionalne gostote verjetnosti priročno uporabiti -dimenzionalno značilno funkcijo, ki je povezana z ustrezno gostoto s Fourierjevo transformacijo:
Opis lastnosti naključnih procesov z uporabo visokodimenzionalnih večdimenzionalnih gostot verjetnosti je lahko zelo podroben. Toda na tej poti pogosto naletimo na resne matematične težave.
Momentna funkcija naključnih procesov.
Manj podrobne, a praviloma v praktičnem smislu povsem zadovoljive značilnosti naključnih procesov lahko dobimo z izračunom momentov tistih naključnih spremenljivk, ki jih opazimo v prerezih teh procesov. Ker so v splošnem primeru ti momenti odvisni od časovnih argumentov, jih imenujemo momentne funkcije.
Za statistično radiotehniko najvišjo vrednost imajo tri momentne funkcije nižjega reda, imenovane matematično pričakovanje, disperzijska in korelacijska funkcija.
Pričakovana vrednost
je povprečna vrednost procesa X(t) v trenutnem času; povprečenje se izvede v celotnem nizu izvedb procesa.
Razpršenost
omogoča presojo stopnje disperzije trenutnih vrednosti, ki jih sprejmejo posamezne izvedbe v fiksnem odseku t, glede na povprečno vrednost.
Dvodimenzionalni središčni moment
se imenuje korelacijska funkcija naključnega procesa Ta trenutna funkcija označuje stopnjo statistične povezave med tistimi naključnimi spremenljivkami, ki jih opazimo pri Primerjanju formul (6.37), (6.38) opazimo, da je pri združevanju odsekov korelacijska funkcija številčno enaka do disperzije:
Stacionarni naključni procesi.
To je običajno ime za naključne procese, katerih statistične značilnosti so v vseh odsekih enake.
Za naključni proces pravimo, da je v v ožjem smislu; če je katera koli njegova -dimenzionalna gostota verjetnosti invariantna glede na časovni premik
Če omejimo zahteve na dejstvo, da matematično pričakovanje in disperzija procesa nista odvisna od časa, korelacijska funkcija pa je odvisna samo od razlike -, potem bo tak naključni proces stacionaren v v širšem smislu. Jasno je, da stacionarnost v ožjem pomenu implicira stacionarnost v širšem pomenu, ne pa tudi obratno.
Kot izhaja iz definicije, je korelacijska funkcija stacionarnega naključnega procesa celo:
Poleg tega absolutne vrednosti te funkcije za nobeno ne presegajo njene vrednosti za:
Metoda dokaza je sledeča: iz očitne neenakosti
temu sledi
od koder neposredno sledi neenakost (6.41).
Pogosto je priročno uporabiti normalizirano korelacijsko funkcijo
za katerega .
Za ponazoritev koncepta stacionarnega naključnega procesa razmislite o dveh primerih.
Primer 6.5. Naključni proces tvorijo izvedbe oblike, kjer so vnaprej znane, fazni kot pa je naključna spremenljivka, enakomerno porazdeljena na segmentu -
Ker je verjetnostna gostota faznega kota matematično pričakovanje procesa
Podobno lahko najdete odstopanje:
Končno, korelacijska funkcija
Torej ta naključni proces izpolnjuje vse pogoje, ki so potrebni za zagotovitev stacionarnosti v širšem smislu.
Primer 6.6. Naključni proces ima implementacije oblike in poleg tega podana števila. - naključna spremenljivka s poljubnim zakonom porazdelitve. Pričakovana vrednost
bo neodvisen od časa le pri. Zato bo v splošnem primeru obravnavani naključni proces nestacionaren.
Lastnost ergodičnosti.
Stacionarni naključni proces se imenuje ergodičen, če lahko pri iskanju njegovih momentnih funkcij povprečje po statističnem ansamblu nadomestimo s povprečenjem po času. Operacija povprečenja se izvede na eni implementaciji trajanja T, ki je teoretično lahko poljubno dolga,
Če časovno povprečje označimo z oglatimi oklepaji, zapišemo matematično pričakovanje ergodičnega naključnega procesa:
ki je enak konstantni komponenti izbrane izvedbe.
Varianca podobnega procesa
Ker vrednost predstavlja povprečno moč izvedbe, vrednost pa moč konstantne komponente, ima disperzija jasen pomen moči fluktuacijske komponente ergodičnega procesa.
Korelacijska funkcija se ugotovi podobno:
Zadosten pogoj za ergodičnost naključnega procesa, stacionarnega v širšem smislu, je težnja korelacijske funkcije k ničli z neomejenim povečanjem časovnega premika:
Matematika kaže, da je to zahtevo mogoče nekoliko omiliti. Izkaže se, da je naključni proces ergodičen, če je izpolnjen pogoj Slutskyja:
Tako velja enakost (6.47) glede na harmonični proces z naključno začetno fazo (glej primer 6.5).
Merjenje karakteristik naključnih procesov.
Če je naključni proces ergodičen, potem je njegova realizacija zadostne dolžine "tipičen" predstavnik statističnega ansambla. Z eksperimentalnim preučevanjem te izvedbe lahko pridobimo veliko informacij, ki označujejo ta naključni proces.
Napravo za merjenje enodimenzionalne gostote verjetnosti naključnega procesa je mogoče oblikovati na naslednji način. Enodimenzionalna gostota verjetnosti ergodičnega naključnega procesa je vrednost, ki je sorazmerna z relativnim časom njegove izvedbe na ravni med Predpostavimo, da obstaja naprava z dvema vhodoma, od katerih je eden napajan s proučevano izvedbo x(t ), drugi pa se napaja z referenčno konstantno napetostjo, katere nivo regulirate. Na izhodu naprave se pojavijo pravokotni video impulzi s konstantno amplitudo, katerih začetek in konec sta določena s trenutki v času, ko trenutne vrednosti naključnega signala sovpadajo bodisi z nivojem bodisi z nivojem. zdaj izmerite, recimo, z običajnim kazalnim instrumentom povprečno vrednost toka, ki ga ustvari zaporedje video impulzov, potem bodo odčitki te naprave sorazmerni z gostoto verjetnosti
Vsako dovolj inercialno kazalno napravo je mogoče uporabiti za merjenje matematičnega pričakovanja naključnega procesa [glej. formula (6.43)].
Naprava, ki meri disperzijo naključnega procesa, kot izhaja iz (6.44), mora imeti na vhodu kondenzator, ki ločuje konstantno komponento. Nadaljnje korake merilnega procesa - kvadriranje in časovno povprečenje - izvaja inercialni kvadratni voltmeter.
Načelo delovanja merilnika korelacijske funkcije (korelometer) izhaja iz formule (6.45). Tukaj so trenutne vrednosti naključnega signala po filtriranju konstantne komponente razdeljene na kanale in dovedene v množilnik, v enem od kanalov pa se signal za nekaj časa zakasni. Za pridobitev vrednosti korelacijske funkcije se signal iz izhoda množitelja obdela z inercialno povezavo, ki izvaja povprečenje.
Ne glede na velikost
Tu je uporabljen isti zapis kot v formuli (6.26). Elementi korelacijske matrike tega naključnega procesa so določeni z normalizirano korelacijsko funkcijo:
V nadaljevanju bomo pogosto uporabljali dvodimenzionalno Gaussovo gostoto
Stacionarni Gaussov proces zavzema izjemno mesto med drugimi naključnimi procesi - vsako njegovo večdimenzionalno gostoto verjetnosti določajo njegove značilnosti: matematično pričakovanje in korelacijska funkcija.
Naključni proces X(t) je funkcija, ki se razlikuje po tem, da so njene vrednosti v poljubnem času vzdolž t koordinate naključne. S strogo teoretičnega vidika je treba naključni proces X(t) obravnavati kot niz implementacij funkcij x k (t), ki imajo skupen statistični vzorec. Pri registraciji naključnega procesa v določenem časovnem intervalu se od nešteto možnih realizacij procesa X(t) zabeleži ena sama realizacija x k (t). Ta posamezna izvedba se imenuje selektivno funkcijo naključni proces X(t). Primeri vzorčnih funkcij modelnega naključnega procesa X(t) so prikazani na sl. 131. V prihodnje bomo, brez dodatnih pojasnil, pri obravnavi različnih parametrov in značilnosti naključnih procesov za spremljajoče primere uporabljali ta model postopek.
riž. 13.1. Vzorčne funkcije naključnega procesa.
Z praktična točka Z našega vidika je vzorčna funkcija rezultat ločenega eksperimenta, po katerem lahko to izvedbo x k (t) štejemo za deterministično funkcijo. Sam naključni proces kot celoto je treba analizirati s položaja neskončne zbirke takih realizacij, ki tvorijo statistični ansambel. V vsakem izbranem trenutku časa t 1 je določena izvedba procesa naključna spremenljivka x 1 z določeno gostoto verjetnosti p(x 1, t 1), njena povprečna vrednost pa je določena s povprečenjem vseh možnih izvedb v tem trenutku. časa t 1. Popolna statistična značilnost takega sistema je N-dimenzionalna gostota verjetnosti p(x n; t n). Vendar tako eksperimentalno določanje N-dimenzionalnih gostot verjetnosti procesov kot njihova uporaba v matematični analizi predstavlja precejšnje matematične težave. Zato so v praksi običajno omejeni na eno- in dvodimenzionalne gostote verjetnosti procesov.
riž. 13.2. Prerezi naključnega procesa X(t).
Funkcionalne značilnosti naključni signali. Predpostavimo, da je naključni proces X(t) specificiran z ansamblom realizacij (x 1 (t), x 2 (t), ... , x k (t), ...). V poljubnem trenutku t 1 fiksiramo vrednosti vseh realizacij (x 1 (t 1), x 2 (t 1), ... , x k (t 1), ...). Niz teh vrednosti predstavlja naključno spremenljivko X(t 1) in je enodimenzionalni presek naključnega procesa X(t). Primeri prerezov za 100 vzorcev naključnega procesa X(t) (slika 9.1.1) v točkah t 1 =30 in t 2 =65 so prikazani na sl. 13.2.
Enodimenzionalna funkcija porazdelitve verjetnosti(x, t n) določa verjetnost, da v času t n vrednost slučajne spremenljivke X(t n) ne bo presegla vrednosti x:
F(x, t n) = P(X(t n) ≤ x).
Očitno je, da je v območju vrednosti verjetnosti od 0 do 1 funkcija F(x, t) nepadajoča z mejnimi vrednostmi F(-¥, t) = 0 in F(¥, t) = 1 Za znano funkcijo F(x, t) bo verjetnost, da bo vrednost X(t n) v vzorcih padla v določen obseg vrednosti, določena z izrazom:
P(a< X(t n) ≤ b} = F(b, t n) – F(a, t n).
Enodimenzionalna gostota verjetnosti p(x, t) naključnega procesa X(t) označuje verjetnostno porazdelitev realizacije naključne spremenljivke X(t n) v poljubnem časovnem trenutku t n. Je izpeljanka funkcije porazdelitve verjetnosti:
p(x, t n) = dF(x, t n)/dx.
Časovni trenutki t n so odseki naključnega procesa X(t) v prostoru možna stanja, gostota verjetnosti p(x, t n) pa je gostota verjetnosti naključnih spremenljivk X(t n) danih odsekov. Produkt p(x, t n)·dx je enak verjetnosti realizacije naključne spremenljivke X(t n) v infinitezimalnem intervalu dx v bližini vrednosti x, kar pomeni, da je tudi gostota verjetnosti nenegativna količino.
riž. 13.3. Verjetnostna porazdelitev in verjetnostna gostota preseka naključnega procesa
Na sl. Slika 13.3 prikazuje primere porazdelitve verjetnosti in gostote verjetnosti preseka naključnega procesa X(t) (slika 13.1) v točki t 1. Verjetnostne funkcije so določene iz N = 1000 vzorcev modela diskretnega naključnega procesa in primerjane s teoretičnimi porazdelitvami za N ® ¥.
Z znano funkcijo gostote verjetnosti se verjetnost realizacije vrednosti X(t n) v poljubnem območju vrednosti izračuna po formuli:
P(a< X(t n) ≤ b) = p(x, t n) dx.
Funkcijo gostote verjetnosti je treba normalizirati na 1, ker naključna spremenljivka mora zavzeti poljubno vrednost iz števila možnih, ki tvorijo celoten prostor naključnih spremenljivk:
P(x, t n) dx = 1.
Z uporabo znane gostote porazdelitve se izračuna funkcija porazdelitve verjetnosti:
F(x, t n) = p(x, t n) dx.
Trenutki distribucije naključni signali omogočajo karakterizacijo naključnih procesov s stabilnimi in nenaključnimi integralnimi ocenami.
Pričakovana vrednost (srednja vrednost) ali prvi trenutek porazdelitve je statistično povprečje naključna spremenljivka X(t n) - povprečenje nad ansamblom realizacij v nekem fiksnem odseku t n naključnega procesa. Oziroma funkcija pričakovanja določa odvisnost utežene povprečne vrednosti naključnega procesa od neodvisne spremenljivke (čas):
m x (t) º M(Х(t))º = x p(x; t) dx. (13,1)
Matematično pričakovanje m x (t) je nenaključna komponenta naključni proces X(t). Na sl. 9.1.1. in 9.1.2 nenaključne komponente m(t) modela naključnega procesa X(t) so označene s pikčasto črto in ustrezajo vzorcem pri N ® ¥.
Srednji kvadratni naključni proces (funkcija drugega momenta) – odvisnost utežene povprečne vrednosti (matematično pričakovanje) kvadratov vrednosti naključnega procesa od neodvisne spremenljivke, tj. procesna moč:
M(X 2 (t))º = x 2 p(x; t) dx.
Funkcija variance (varianca) – drugi osrednji moment naključnega procesa, določa funkcijo utežene povprečne vrednosti (matematičnega pričakovanja) kvadratne razlike X(t)-m x (t), ki se imenuje nihalni del postopek:
D x (t) = M([X(t)-m x (t)] 2 ) = 2 p(x; t) dx. (
Funkcija standardnega odklona (standardni odklon) služi kot merilo amplitude širjenja (nihanja) vrednosti naključnega procesa vzdolž časovne osi glede na matematično pričakovanje procesa:
s x (t) = . (13,3)
Ob upoštevanju zadnji izraz, je varianca naključne spremenljivke običajno označena z indeksom s x 2.
Na sl. Slika 13.4 prikazuje primer fluktuacijske komponente procesa X(t) (slika 13.1) v eni od izvedb v primerjavi s standardnim odklonom ±s slučajnih spremenljivk od matematičnega pričakovanja m(t).
Oblika funkcij gostote verjetnosti v odsekih naključnih procesov p(x; t n), kot tudi v vseh odsekih stacionarnih naključnih procesov p(x), je odvisna od fizična narava naključnih signalov, vendar najpogosteje ustreza normalni (Gaussovi) porazdelitvi:
p(x) = 
.
To določa dejstvo, da v skladu z " centralni mejni izrek"porazdelitev verjetnosti za vsote neodvisnih naključnih spremenljivk, za katere ni prevladujočih, se nagiba k normalnemu zakonu, ko se število členov povečuje, in ni odvisna od zakonov porazdelitve členov. Medtem so fizični naključni procesi običajno več- parameter, naključnost vrednosti parametrov pa je praviloma določena z njihovo naravo in ustreza tudi normalnim porazdelitvam.
Dvodimenzionalna gostota verjetnosti. Enodimenzionalni zakoni porazdelitve gostote verjetnosti naključnih procesov nimajo nobenih značilnosti razmerja med vrednostmi naključnih spremenljivk za različne pomene argumenti.
Dvodimenzionalna gostota verjetnosti p(x 1 ,x 2 ; t 1 ,t 2) določa verjetnost skupne realizacije vrednosti naključnih spremenljivk X(t 1) in X(t 2) v poljubnih časih t 1 in t 2 in do neke mere že omogoča oceno dinamike razvoja procesa. Dvodimenzionalna gostota verjetnosti opisuje dvodimenzionalno naključno spremenljivko (X(t n), X(t m)) kot funkcijo verjetnosti realizacije naključne spremenljivke X(t n) v neskončno majhnem intervalu dx n v bližini x n v času t n, pod pogojem, da bo v času t m vrednost X(t m) realizirana v infinitezimalnem intervalu dx m v bližini x m:
p(x n,x m; t n,t m) dx n dx m = P(|X(t n)-x n |≤dx n /2, |X(t m)-x m |≤dx m /2).
Z dvodimenzionalno gostoto verjetnosti imamo:
m x (t) º = x 1 (t 1) p(x 1 ,t 1 ; x 2 ,t 2) dx 1 dx 2 . (13,1")
D x (t) = s x 2 (t)= 2 p(x 1 ,t 1 ; x 2 ,t 2) dx 1 dx 2 . (13,2")
Korelacijske funkcije naključnih procesov. Značilnost dinamike spreminjanja dvodimenzionalne naključne spremenljivke (X(t n), X(t m)) je korelacijska funkcija, ki opisuje naključni proces kot celoto:
R X (t n , t m) = M(X(t n) X(t m)).
Korelacijska funkcija je statistično povprečen produkt vrednosti naključnega procesa X(t) v časih t n in t m nad vsemi vrednostmi argumentov t n in t m, zato je tudi dvodimenzionalna funkcija. V smislu teorije verjetnosti je korelacijska funkcija drugi začetni trenutek naključnega procesa.
Na sl. 13.5 prikazuje primere izvedb dveh naključnih procesov, za katere je značilna enaka funkcija matematičnega pričakovanja in disperzije.
riž. 13.5.
Iz slike je razvidno, da čeprav je prostor stanj obeh procesov praktično enak, se dinamika razvoja procesov v implementacijah bistveno razlikuje. Posamezne realizacije koreliranih procesov v poljubni časovni točki so lahko enako naključne kot nekorelirane, mejno pa imata lahko v vseh odsekih oba procesa enak zakon porazdelitve naključnih spremenljivk. Vendar pa je dinamika razvoja vzdolž koordinate t (ali katere koli druge neodvisne spremenljivke) ene same izvedbe koreliranega procesa v primerjavi z nekoreliranim bolj gladka in zato v koreliranem procesu obstaja določena povezava med zaporednimi vrednostmi naključnih spremenljivk. Ocena stopnje statistične odvisnosti trenutnih vrednosti katerega koli procesa X (t) v poljubnih časih t n in t m se izvaja s korelacijsko funkcijo. V celotnem prostoru vrednosti naključnega procesa X(t) je korelacijska funkcija določena z izrazom:
R X (t n, t m) = x(t n)x(t m) p(x n,t m; x n,t m) dx n dx m, (9.1.4)
riž. 13.6. Dvodimenzionalna gostota verjetnosti in korelacijska funkcija procesa X(t).
Na sl. Slika 13.6 prikazuje obliko modelnega naključnega procesa X(t) v enem vzorcu s pomembno in spreminjajočo se nenaključno komponento. Model je specificiran na intervalu 0-T (T=100) v diskretni obliki s korakom Dt=1. Korelacijska funkcija se izračuna z uporabo dane gostote verjetnosti modela.
Pri analizi naključnih procesov je priročno določiti drugi trenutek časa t m z vrednostjo premika t glede na prvi trenutek, ki ga lahko podamo v obliki koordinatne spremenljivke:
R X (t, t+t) = M(X(t)X(t+t)). (13,4")
Funkcijo, podano s tem izrazom, običajno imenujemo avtokorelacijska funkcija naključnega procesa.
Kovariančne funkcije. Poseben primer korelacijske funkcije je avtokovariančna funkcija (ACF), ki se pogosto uporablja v analizi signalov. Predstavlja statistično povprečen produkt vrednosti centrirane naključne funkcije X(t)-m x (t) v časih t n in t m in označuje fluktuacijsko komponento procesa:
K X (t n,t m) = (x(t n)-m x (t n)) (x(t m)-m x (t m)) p(x n,t n; x m,t m) dx n dx m, (13.5)
V smislu teorije verjetnosti je kovariančna funkcija druga osrednja točka naključnega procesa. Za centrirane naključne procese je FAC enak korelacijski funkciji. Za poljubne vrednosti m x so kovariančne in korelacijske funkcije povezane z razmerjem:
K X (t, t+t) = R X (t, t+t) - m x 2 (t).
Normalizirana avtokovariančna funkcija (funkcija korelacijskih koeficientov):
r X (t, t+t) = K X (t, t+t)/. (9.1.6)
Pri t = 0 je vrednost r X 1 in FAC se degenerira v varianco naključnega procesa:
K X (t) = D X (t) = s x 2 (t).
Iz tega sledi, da sta za naključne procese in funkcije glavni značilnosti funkciji matematičnega pričakovanja in korelacije (kovarianca). Ni posebne potrebe po ločeni disperzijski funkciji.
Primeri izvedb dveh različnih naključnih procesov in njunih normaliziranih kovariančnih funkcij so prikazani na sl. 13.7.
riž. 13.7. Realizacije in kovariančne funkcije naključnih procesov.
Matematični modeli naključnih signalov in šuma so naključni procesi. Naključni proces (RP) je sprememba naključne spremenljivke skozi čas. Naključni procesi vključujejo večino procesov, ki se pojavljajo v radijskih napravah, pa tudi motnje, ki spremljajo prenos signalov po komunikacijskih kanalih. Naključni procesi so lahko neprekinjeno(NSP), oz diskretna(DSP), odvisno od tega, katera naključna spremenljivka, zvezna ali diskretna, se bo sčasoma spremenila. V prihodnje bo glavni poudarek na NSP.
Preden začnemo preučevati naključne procese, se je treba odločiti o metodah njihove predstavitve. Naključni proces bomo označili z , njegovo specifično izvedbo pa z . Lahko je predstavljen tudi naključni proces sklop (ansambel) izvedb, oz eno, ampak časovno dokaj podaljšana izvedba. Če fotografirate več oscilogramov naključnega procesa in fotografije postavite eno pod drugo, bo zbirka teh fotografij predstavljala celoto izvedb (slika 5.3).
Tukaj so prva, druga, ..., k-ta izvedba procesa. Če prikažemo spremembo naključne spremenljivke na snemalnem traku v dovolj velikem časovnem intervalu T, bo proces predstavljen z eno samo izvedbo (slika 5.3).
Tako kot naključne spremenljivke so tudi naključni procesi opisani s porazdelitvenimi zakoni in verjetnostnimi (numeričnimi) značilnostmi. Verjetnostne značilnosti je mogoče pridobiti bodisi s povprečenjem vrednosti naključnega procesa v nizu realizacij bodisi s povprečenjem ene realizacije.
Naj bo naključni proces predstavljen z ansamblom realizacij (slika 5.3). Če izberete poljubno časovno točko in določite vrednosti, ki jih sprejemajo implementacije v tem trenutku, potem celota teh vrednosti tvori enodimenzionalni odsek SP
in predstavlja naključno spremenljivko. Kot že poudarjeno zgoraj, je izčrpna značilnost naključne spremenljivke porazdelitvena funkcija ali enodimenzionalna gostota verjetnosti
.
Seveda imata oba in vse zgoraj obravnavane lastnosti porazdelitvene funkcije in funkcije gostote verjetnosti.
Numerične značilnosti v odseku so določene v skladu z izrazi (5.20), (5.22), (5.24) in (5.26). Tako je zlasti matematično pričakovanje SP v odseku določeno z izrazom
in varianca je izražena z
Vendar pa zakoni porazdelitve in numerične značilnosti samo v prerezu niso dovolj za opis naključnega procesa, ki se razvija skozi čas. Zato je treba upoštevati drugi del (slika 5.3). V tem primeru bo SP opisan z dvema naključnima spremenljivkama in , ločenima drug od drugega s časovnim intervalom 
in je značilna dvodimenzionalna porazdelitvena funkcija 
in dvodimenzionalno gostoto 
, Kje , . Očitno, če v obravnavo uvedemo še tretjega, četrtega itd. prerezih lahko pridemo do večdimenzionalne (N-dimenzionalne) porazdelitvene funkcije in s tem do večdimenzionalne gostote porazdelitve.
Najpomembnejša lastnost naključni proces služi avtokorelacijsko funkcijo(AKF)
ugotavljanje stopnje statistične povezave med vrednostmi SP v časovnih točkah in
Predstavitev SP v obliki ansambla izvedb vodi do koncepta stacionarnosti procesa. Naključni proces je stacionarni, če vsi začetni in osrednji trenutki niso odvisni od časa, tj.
, 
.
to težke razmere, zato se ob njihovi izvedbi šteje SP bolnišnica v ožjem pomenu.
V praksi se uporablja koncept stacionarnosti v širšem smislu. Naključni proces je v širšem smislu stacionaren, če njegovo matematično pričakovanje in varianca nista odvisna od časa, tj.
in avtokorelacijsko funkcijo določa le interval in ni odvisna od izbire na časovni osi
V nadaljevanju bomo obravnavali le stacionarne naključne procese v širšem smislu.
Zgoraj je bilo omenjeno, da je naključni proces, poleg tega, da je predstavljen z nizom izvedb, lahko predstavljen z eno samo izvedbo v časovnem intervalu T. Očitno je mogoče vse značilnosti procesa pridobiti s povprečenjem vrednosti procesa čez čas.
Matematično pričakovanje SP pri povprečenju skozi čas se določi na naslednji način:
. (5.46)
to pomeni fizični pomen: matematično pričakovanje je povprečna vrednost (konstantna komponenta) procesa.
Varianca SP je določena z izrazom
in ima fizični pomen povprečne moči spremenljive komponente procesa.
Avtokorelacijska funkcija s časovnim povprečenjem
Naključni proces se imenuje ergodičen, če njegove verjetnostne značilnosti, dobljene s povprečenjem nad ansamblom, sovpadajo z verjetnostnimi značilnostmi, dobljenimi s časovnim povprečenjem posamezne realizacije iz tega ansambla. Ergodični procesi so stacionarni.
Uporaba izrazov (5.46), (5.47) in (5.48) zahteva, strogo gledano, izvedbo naključnega procesa velikega (teoretično neskončnega) obsega. Pri reševanju praktičnih nalog je časovni interval omejen. V tem primeru se večina procesov obravnava kot približno ergodična in verjetnostne značilnosti se določijo v skladu z izrazi
; (5.49)
;
Imenujejo se naključni procesi, za katere je matematično pričakovanje izključeno sredinsko. V nadaljevanju in bomo razumeli kot vrednosti centriranih naključnih procesov. Nato izraza za disperzijsko in avtokorelacijsko funkcijo prevzameta obliko
; (5.50)
Opozorimo na lastnosti ACF ergodičnih naključnih procesov:
– avtokorelacijska funkcija je realna funkcija argumenta,
– avtokorelacijska funkcija je soda funkcija, tj. 
,
– z naraščanjem ACF pada (ne nujno monotono) in teži k ničli kot
– Vrednost ACF enaka disperziji (povprečni moči) procesa
.
V praksi imamo pogosto opravka z dvema ali več skupnimi podvigi. Na primer, mešanica naključnega signala in šuma je istočasno sprejeta na vhodu radijskega sprejemnika. Vzpostavi se medsebojna povezava med dvema naključnima procesoma navzkrižna korelacijska funkcija(VKF). Če sta in dva naključna procesa, za katera sta značilni realizaciji in , potem je navzkrižna korelacijska funkcija določena z izrazom
