Extrem funktion
Definition 2.
Point $ X_0 $ kallas den maximala punkten på funktionen $ f (x) $, om det finns ett sådant grannskap av denna punkt, som för alla $ X $ det är från detta grannskap är ojämlikheten $ f (x) \\ le f (x_0) $.
Definition 3.
Point $ X_0 $ kallas den maximala punkten på funktionen $ f (x) $, om det finns ett sådant grannskap av denna punkt, som för alla $ X $ det är från detta grannskap är en ojämlikhet $ f (x) \\ GE F (x_0) $.
Begreppet Extremum-funktionen är nära besläktat med begreppet kritisk funktion. Vi presenterar sin definition.
Definition 4.
$ x_0 $ kallas en kritisk punkt av funktionen $ f (x) $, om:
1) $ x_0 $ - den inre punkten i definitionområdet;
2) $ f "\\ vänster (x_0 \\ höger) \u003d 0 $ eller existerar inte.
För begreppet extremum kan du formulera teoremier på tillräckliga och nödvändiga förutsättningar för dess existens.
Teorem 2.
Ett tillräckligt tillstånd av extremum
Låt punkten $ x_0 $ vara kritisk för funktionen $ y \u003d f (x) $ och ligger i $ (a, b) $ intervall. Låt på varje intervall $ \\ vänster (a, x_0 \\ höger) \\ och \\ (x_0, b) $ derivat $ f "(x) $ existerar och sparar ett permanent tecken. Då:
1) Om $ (A, X_0) på $ (A, X_0) är $ f "\\ vänster (x \\ höger)\u003e 0 $ och på området $ (x_0, b) $ derivat $ f" \\ vänster ( X \\ höger)
2) Om på intervallet $ (a, x_0) $ derivat $ f "\\ vänster (x \\ höger) 0 $, är en punkt $ X_0 $ en minsta punkt för den här funktionen.
3) Om på intervallet $ (A, X_0) $, och på intervallet $ (x_0, b) $ derivat $ f \\ vänster (x \\ höger)\u003e 0 $ eller derivat $ f \\ vänster (x \\ höger)
Denna teorem illustreras i figur 1.
Figur 1. Ett tillräckligt villkor för existensen av extremiteter
Exempel på extremiteter (fig 2).
Figur 2. Exempel på extremitetspunkter
Regelforskningsfunktioner för extremt
2) Hitta derivatet på $ f "(x) $;
7) Rita slutsatser om närvaron av maxima och minima vid varje intervall med användning av teorem 2.
Stigande och minskning av funktionen
Vi presenterar, till att börja med, definitionen av ökande och minskande funktioner.
Definition 5.
Funktionen $ y \u003d f (x) $, bestämd på intervallet $ x $, kallas en ökande, om för alla punkter $ x_1, x_2 \\ in x $ med $ x_1
Definition 6.
Funktionen $ y \u003d f (x) $, bestämd på $ x $ span, kallas minskande, om för alla punkter $ x_1, x_2 \\ i x $ med $ x_1f (x_2) $.
Forskningsfunktion för att öka och nedåtgående
Utforska funktionerna för att öka och minska kan använda ett derivat.
För att undersöka funktionen på luckorna i ökande och nedåtgående måste du göra följande:
1) Hitta definitionområdet för funktionen $ f (x) $;
2) Hitta derivatet på $ f "(x) $;
3) Hitta punkter där jämlikheten är $ f \\ vänster (x \\ höger) \u003d 0 $;
4) Hitta de punkter där $ f "(x) $ inte existerar
5) Markera på koordinaten Direkt alla hittade punkter och fältet att bestämma denna funktion;
6) Bestäm värdet av $ F "(x) $ -derivatet på varje erhållet intervall;
7) Gör en slutsats: med intervaller, där $ f "\\ vänster (x \\ höger) 0 $ -funktion ökar.
Exempel på mål för funktioner för att öka, minska och närvaro av extremitetspunkter
Exempel 1.
Utforska funktionen att öka och minska, och närvaron av punkter av maxima och låga: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + $ 1
Sedan de första 6 poängen sammanfaller, låt oss spendera dem.
1) Definitionsområdet är alla giltiga nummer;
2) $ f "\\ vänster (x \\ höger) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;
3) $ f \\ vänster (x \\ höger) \u003d 0 $;
\ \ \
4) $ f "(x) $ finns på alla punkter i definitionområdet;
5) Koordinera direkt:
Figur 3.
6) Bestäm tecknet på derivatet $ f "(x) $ vid varje intervall:
\ \}
