Приложенная к телу, а m {\displaystyle \ m} - масса тела. Или в ином виде:
- Формулировка второго закона Ньютона с использованием понятия импульса :
d p → d t = F → , {\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}},} где p → = m v → {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}} - импульс (количество движения) точки, - её скорость , а t {\displaystyle t} - время .В инерциальных системах отсчёта производная импульса материальной точки по времени равна действующей на неё силе :
Область применения закона
Второй закон Ньютона в классической механике сформулирован применительно к движению материальной точки. Предполагается, что масса материальной точки неизменна во времени . Уравнения, соответствующие данному закону, называются уравнениями движения материальной точки или основными уравнениями динамики материальной точки .
Иногда в рамках классической механики предпринимались попытки распространить сферу применения уравнения d p → / d t = F → {\displaystyle d{\vec {p}}/dt={\vec {F}}} и на случай тел переменной массы. Однако вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходилось существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила .
В случае, когда на материальную точку действует несколько сил, каждая из них сообщает точке ускорение, определяемое вторым законом Ньютона так, как если бы других сил не было (принцип независимости действия сил). Поэтому результирующее ускорение материальной точки можно определить по второму закону Ньютона, подставив в него равнодействующую силу .
предполагает скалярную аддитивность масс .
Помимо материальной точки, уравнение второго закона Ньютона применимо также для описания механического движения центра масс механической системы. Центр масс движется, как материальная точка, имеющая массу, равную массе всей системы, и находящаяся под действием всех внешних сил, приложенных к точкам системы (теорема о движении центра масс системы).
Второй закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчёта . Тем не менее, добавляя к силам, действующим со стороны других тел, силы инерции , для описания движения в неинерциальных системах отсчёта можно пользоваться уравнением второго закона Ньютона . В таком случае для неинерциальной системы отсчёта уравнение движения записывается в той же форме, что и для инерциальной системы: масса тела, умноженная на его ускорение относительно неинерциальной системы отсчёта, равна по величине и направлению равнодействующей всех сил, включая и силы инерции, приложенные к телу .
Логическая роль второго закона Ньютона
В ньютоновском изложении классической механики законы Ньютона ниоткуда не «выводятся», они имеют статус аксиом , базирующихся на совокупности экспериментальных фактов. Как и аксиомы математики, аксиомы ньютоновской динамики можно сформулировать немного по-разному.
При одном подходе второй закон Ньютона позиционируется как экспериментально проверяемое утверждение о пропорциональности ускорения вызывающей его силе и, одновременно, определение инертной массы тела через отношение величин силы и ускорения . Тогда основная идея второго закона состоит в декларации линейности соотношения «сила-ускорение», то есть что именно эти величины (а не, скажем, сила и скорость) и именно таким образом (а не квадратично и т. п.) связаны между собой.
При другом подходе можно ввести инертную массу независимо от второго закона Ньютона, через массу определённого тела, принимаемого за эталон. Тогда второй закон содержит два независимо экспериментально проверяемых утверждения: о пропорциональности ускорения силе и обратной пропорциональности массе .
Уравнение второго закона Ньютона F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} рассматривается как уравнение связи между физическими величинами при определении единиц силы в системах СИ , СГС и других . Единица силы определяется как такая сила, которая материальной точке с массой, равной единице массы, принимаемой в качестве основной, сообщает ускорение, равное единице ускорения, определённой ранее в качестве производной единицы . (При независимом выборе единиц массы, силы и ускорения выражение второго закона нужно писать в виде m a → = k F → {\displaystyle m{\vec {a}}=k{\vec {F}}} , где k {\displaystyle k} - коэффициент пропорциональности, определяющийся выбором единиц измерения ).
Во многих практических и учебных задачах второй закон Ньютона позволяет вычислять силу . Но данный закон не является дефиницией силы (высказывание типа «по определению, сила есть произведение массы на ускорение» неуместно), иначе он превратился бы в тавтологию.
В случае отсутствия воздействия на тело со стороны других тел ( F → = 0 {\displaystyle {\vec {F}}=0} ), из второго закона Ньютона следует, что ускорение тела равно нулю. Отсюда может показаться, что первый закон Ньютона входит во второй как его частный случай. Однако, это не так, поскольку именно первым законом постулируется существование инерциальных систем отсчёта, что является самостоятельным содержательным утверждением. Соответственно, первый закон Ньютона формулируется независимо от второго.
Формула второго закона Ньютона a → = F → / m {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {F}}/m} выражает принцип причинности классической механики. Координаты и скорости материальной точки в момент времени t + Δ t {\displaystyle t+\Delta t} (где Δ t → 0 {\displaystyle \Delta t\to 0} ) непрерывно и однозначно определяются через их значения в момент времени t {\displaystyle t} и заданную силу , действующую на материальную точку. Разлагая в ряд Тейлора и ограничиваясь малыми первого порядка по t {\displaystyle t} , получаем : r → (t + Δ t) = r → (t) + v → Δ t {\displaystyle {\vec {r}}(t+\Delta t)={\vec {r}}(t)+{\vec {v}}\Delta t} , v → (t + Δ t) = v → (t) + a → Δ t {\displaystyle {\vec {v}}(t+\Delta t)={\vec {v}}(t)+{\vec {a}}\Delta t} . Форма, в которой в механике реализуется причинность, называется механистическим или лапласовским детерминизмом .
Второй закон Ньютона устанавливает связь между динамическими и кинематическими величинами .
В случае, когда сила F → {\displaystyle {\vec {F}}} постоянна, интегрирование уравнения второго закона Ньютона d v → d t = F → m {\displaystyle {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {\vec {F}}{m}}} в этом случае приводит к равенству v 2 → − v 1 → = F → m (t 2 − t 1) {\displaystyle {\vec {v_{2}}}-{\vec {v_{1}}}={\frac {\vec {F}}{m}}(t_{2}-t_{1})} . Это соотношение показывает, что под действием заданной силы F → {\displaystyle {\vec {F}}} определённое изменение скорости Δ v → = v 2 → − v 1 → {\displaystyle \Delta {\vec {v}}={\vec {v_{2}}}-{\vec {v_{1}}}} у тела с большей массой происходит за более продолжительный промежуток времени. Поэтому говорят, что все тела обладают инерцией, а массу m {\displaystyle m} называют мерой инерции тела .
Запись закона в разных системах координат
Векторная запись второго закона Ньютона m a → = F → {\displaystyle m{\vec {a}}={\vec {F}}} верна для любой инерциальной системы координат, относительно которой определяются входящие в этот закон величины (сила, масса, ускорение) . Однако, разложение на компоненты (проекции) будет различным для декартовой, цилиндрической и сферической систем. Интерес также представляет разложение на нормальную и тангенциальную составляющие.
M x ¨ = F x {\displaystyle m{\ddot {x}}=F_{x}} , m y ¨ = F y {\displaystyle m{\ddot {y}}=F_{y}} , , где F → = F x i → + F y j → + F z k → {\displaystyle {\vec {F}}=F_{x}{\vec {i}}+F_{y}{\vec {j}}+F_{z}{\vec {k}}} , а орты декартовой системы i → {\displaystyle {\vec {i}}} , j → {\displaystyle {\vec {j}}} , k → {\displaystyle {\vec {k}}} направлены по осям координат (в сторону возрастания конкретной координаты),
M (ρ ¨ − ρ φ ˙ 2) = F ρ {\displaystyle m({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2})=F_{\rho }} , m (ρ φ ¨ − 2 ρ ˙ φ ˙) = F φ {\displaystyle m(\rho {\ddot {\varphi }}-2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }})=F_{\varphi }} , m z ¨ = F z {\displaystyle m{\ddot {z}}=F_{z}} , где F → = F ρ e → ρ + F φ e → φ + F z e → z {\displaystyle {\vec {F}}=F_{\rho }{\vec {e}}_{\rho }+F_{\varphi }{\vec {e}}_{\varphi }+F_{z}{\vec {e}}_{z}} , а орты e → ρ {\displaystyle {\vec {e}}_{\rho }} , , e → z {\displaystyle {\vec {e}}_{z}} цилиндрической системы берутся в точке приложения силы и направлены, соответственно, от оси z {\displaystyle z} под 90 0 к ней, по окружности в плоскости x y {\displaystyle xy} с центром на оси, и вдоль z {\displaystyle z} (в сторону возрастания конкретной координаты),
M (r ¨ − r φ ˙ 2 sin 2 θ − r θ ˙ 2) = F r {\displaystyle m({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta -r{\dot {\theta }}^{2})=F_{r}} , m ([ r φ ¨ + 2 r ˙ φ ˙ ] sin θ + 2 r φ ˙ θ ˙ cos θ) = F φ {\displaystyle m(\sin \theta +2r{\dot {\varphi }}{\dot {\theta }}\cos \theta)=F_{\varphi }} , m (2 r ˙ θ ˙ + r θ ¨ − r φ ˙ 2 sin θ cos θ) = F θ {\displaystyle m(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta)=F_{\theta }} , где F → = F r e → r + F φ e → φ + F θ e → θ {\displaystyle {\vec {F}}=F_{r}{\vec {e}}_{r}+F_{\varphi }{\vec {e}}_{\varphi }+F_{\theta }{\vec {e}}_{\theta }} , а орты e → r {\displaystyle {\vec {e}}_{r}} , e → φ {\displaystyle {\vec {e}}_{\varphi }} , e → θ {\displaystyle {\vec {e}}_{\theta }} сферической системы берутся в точке приложения силы и направлены, соответственно, от центра O {\displaystyle O} , по «параллелям», и по «меридианам» (в сторону возрастания конкретной координаты).
- Разложение в соприкасающейся плоскости
Тангенциальная составляющая силы равна F t = m a t = m d 2 s d t 2 {\displaystyle F_{t}=ma_{t}=m{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}} , где s = s (t) {\displaystyle s=s(t)} - дуговая координата по траектории точки . Если d 2 s d t 2 > 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}>0} , то сила совпадает по направлению с вектором скорости v → {\displaystyle {\vec {v}}} и её называют движущей силой . Если d 2 s d t 2 < 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}<0} , то сила F t → {\displaystyle {\vec {F_{t}}}} противоположна по направлению вектору скорости v → {\displaystyle {\vec {v}}} и её называют тормозящей силой .
Второй закон за пределами классической механики
В релятивистской динамике
Второй закон Ньютона в виде m a → = F → {\displaystyle m{\vec {a}}={\vec {F}}} приближённо справедлив только для скоростей , много меньших скорости света , и в инерциальных системах отсчёта .
В виде d p → d t = F → {\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}} второй закон Ньютона точно справедлив также в инерциальных системах отсчёта специальной теории относительности и в локально инерциальных системах отсчёта общей теории относительности , однако при этом вместо прежнего выражения для импульса используется равенство p → = m v → 1 − v 2 c 2 {\displaystyle {\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-{\frac {\displaystyle v^{2}}{\displaystyle c^{2}}}}}}} , где c {\displaystyle c} - скорость света .
Существует и четырёхмерное релятивистское обобщение второго закона Ньютона. Производная четырёхимпульса P → {\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}} по собственному времени τ {\displaystyle \tau } материальной точки равна четырёхсиле Φ → {\displaystyle {\vec {\Phi }}} :
Φ → = d P → d τ {\displaystyle {\vec {\Phi }}={\frac {d{\vec {\mathrm {P} }}}{d\tau }}} .В релятивистской динамике вектор трёхмерного ускорения a → {\displaystyle {\vec {a}}} уже не параллелен вектору трёхмерной силы F → {\displaystyle {\vec {F}}} .
В квантовой механике
Законы ньютоновской динамики, в том числе второй закон Ньютона, неприменимы, если длина волны де Бройля рассматриваемого объекта соизмерима с характерными размерами области, в которой изучается его движение. В этом случае необходимо пользоваться квантовомеханическими законами .
Тем не менее, второй закон Ньютона при определённых условиях актуален применительно к движению волнового пакета в квантовой механике. Если потенциальная энергия волнового пакета пренебрежимо мало изменяется в области нахождения пакета, то производная по времени среднего значения импульса пакета будет равна силе, понимаемой как градиент потенциальной энергии , взятый с обратным знаком (теорема Эренфеста).
Видоизменённый второй закон Ньютона используется и при квантовомеханическом описании движения электронов в кристаллической решётке. Взаимодействие электрона с периодическим электромагнитным полем решётки при этом учитывается введением понятия эффективной массы .
Научно-историческое значение закона
Оценивая значение второго закона Ньютона, А. Эйнштейн писал:
Дифференциальный закон является той единственной формой причинного объяснения, которая может полностью удовлетворять современного физика. Ясное понимание дифференциального закона есть одно из величайших духовных достижений Ньютона… Только переход к рассмотрению явления за бесконечно малое время (т. е. к дифференциальному закону) позволил Ньютону дать формулировку, пригодную для описания любого движения… Так Ньютон пришёл… к установлению знаменитого закона движения:
Вектор ускорения × Масса = Вектор силы.
Это - фундамент всей механики и, пожалуй, всей теоретической физики.
Все законы природы для сил в зависимости от свойств тел, их состояний и движений получаются из опытов и устанавливаются всегда и только на основе решения уравнения F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} , которое употребляется для выражения силы .
Лагранжево и гамильтоново обобщения закона
В аналитической механике существует два аксиоматических подхода. При одном подходе в качестве аксиомы принимается второй закон Ньютона и из него выводятся уравнения Лагранжа . При другом подходе в качестве аксиомы принимаются уравнения Лагранжа. Тогда второй закон Ньютона рассматривается как следствие из них .
Теорема об изменении обобщённого импульса обобщает и включает как частные случаи теоремы ньютоновской динамики об изменении количества движения и об изменении кинетического момента .
p ˙ i = − ∂ H ∂ q i {\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}} ,где, как и выше, p i = ∂ L ∂ q ˙ i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}} - обобщённый импульс, через H = ∑ i = 1 s p i q ˙ i − L {\displaystyle H=\sum _{i=1}^{s}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L} обозначена функция Гамильтона , а L = L (q i , q ˙ i , t) {\displaystyle L=L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)} -
Расположим динамометр вертикально и к его крючку будем подвешивать различные тела. Растяжение пружины показывает, что на все тела со стороны Земли действует сила притяжения. Эта сила называется силой тяжести.
Подвесим на крючок динамометра сначала одно тело, а потом другое, изготовленное из того же материала, но имеющее в два раза больший объём. Опыт показывает, что на второе тело действует в два раза большая сила тяжести. Затем измерим силу тяжести, действующую на тела одинакового объёма, но изготовленные из разных материалов. Опыт показывает, что на тела одинакового объёма, сделанные из алюминия и стали, действуют неодинаковые силы тяжести. Следовательно, сила тяжести, действующая на тело, зависит не только от его объёма.
Физическую величину, которая полностью определяет значение силы притяжения тела к Земле, называется массой тела .
Физическая величина, которой прямо пропорциональна сила притяжения к Земле, называется массой тела.
За единицу измерения массы принята масса международного эталона килограмма. Эта единица измерения называется килограмм (1 кг).
Тело имеет массу 1 кг, если на него действует такая же сила тяжести, какая действует в том же месте наблюдения на международный эталон килограмма.
Хорошо известно, что под действием одинаковых сил разные тела могут приобретать различные ускорения. От чего же ещё, кроме значения действующей силы, зависит ускорение тела? Опыт показывает, что единственной характеристикой тела, от которой зависит ускорение при действии одинаковых сил, является масса тела.
При действии одинаковых сил ускорение ɑ ̴ 1/m.
По определению, сила пропорциональна ускорению тела. Следовательно, ускорение движения тела прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела. Это утверждение называется вторым законом Ньютона или вторым законом механики:
Используя второй закон Ньютона, можно решать три вида практических задач. Если известны значения силы F и массы m тела, то можно определить ускорение движения тела. При известных значениях массы тела и ускорения можно найти силу, вызывающую ускорение:
F = m ɑ
По известным значениям силы и ускорения можно найти массу тела:
m = F/ ɑ
Мы знаем, что под действием сил тела не могут мгновенно изменять своё состояние покоя или движения. Это свойство тел называется инертностью.
Из второго закона Ньютона следует, что разные тела под действием одинаковых сил движутся с различными ускорениями. Скорость тела изменяется тем медленнее, чем больше масса тела. Следовательно, масса является мерой инертности тела.
Таким образом, масса тела одновременно является мерой двух свойств тел: способности взаимодействовать с другими телами силами тяготения и мерой инертности тел.
Второй закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчёта.
Остались вопросы? Не знаете второй закон Ньютона?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Второй закон Ньютона связывает вместе три, на первый взгляд, совершенно не связанные друг с другом величины: ускорение, массу и силу. Хотите легко и быстро, на примерах понять, как это происходит? Запросто. Надо будет проделать пару элементарных опытов и немного порассуждать.
Элементарный опыт по второму закону Ньютона
Начнем с практической части. Нагрузите чем-нибудь две сумки или два пакета. Один чуть-чуть, а второй очень сильно. Только пакеты берите покрепче. А теперь примерно с одинаковой силой по очереди резко поднимите оба пакета вверх. Вы увидите, что легкий пакет практически взлетит, а вот тяжелый перемещаться будет намного медленнее.
А теперь другой опыт положите на землю футбольный мячик и пните его пару раз. Один раз легонько, а второй раз со всей силы. Понаблюдайте, как изменится скорость мяча после пинка. В первом случае он потихоньку откатится на небольшое расстояние, во втором улетит далеко и на весьма приличной скорости. Ну вот и все, с практической частью закончили. Теперь немного порассуждаем.
Действие равнодействующей силы
Мы знаем, что скорость тела изменяется под действием приложенной к нему силы. Если на тело действуют несколько сил, то находят равнодействующую этих сил, то есть некую общую суммарную силу, обладающую определенным направлением и числовым значением.
То есть, фактически, все случаи приложения различных сил в конкретный момент времени можно свести к действию одной равнодействующей силы. Таким образом, чтобы найти, как изменилась скорость тела, нам надо знать, какая сила действует на тело.
Какое ускорение получает тело?
В зависимости от величины и направления силы тело получит то или иное ускорение. Это четко видно в опыте с мячом. Когда мы подействовали на тело небольшой силой, мяч ускорился не очень сильно. Когда же сила воздействия увеличилась, то мяч приобрел гораздо большее ускорение. То есть, ускорение связано с приложенной силой прямо пропорционально. Чем больше сила воздействия, тем большее ускорение приобретает тело.
От чего еще зависит ускорение, полученное телом в результате воздействия на него? Вспомним первую часть нашего опыта. Ускорение двух грузов у нас было ощутимо разным, хотя силу мы старались прикладывать одинаковую. А вот масса грузов у нас отличалась. И в случае с большей массой ускорение тела было небольшим, а в случае меньшей массы намного большим.
То есть, второй вывод это то, что масса тела напрямую связана с ускорением, приобретаемым телом в результате воздействия силы. При этом, масса тела обратно пропорциональна полученному ускорению. Чем больше масса, тем меньше будет величина ускорения.
Второй Закон Ньютона: формула и определение
Исходя из всего вышесказанного, приходим к тому, что можно записать второй закон Ньютона в виде следующей формулы:
где a ускорение, F сила воздействия, m масса тела.
Соответственно, второму закону Ньютона можно дать такое определение: ускорение, приобретаемое телом в результате воздействия на него, прямо пропорционально силе или равнодействующей сил этого воздействия и обратно пропорционально массе тела. Это и есть второй закон Ньютона.
Относительно которых материальные точки , когда на них не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
Историческая формулировка
Современная формулировка
где p → = m v → {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}} - импульс точки, v → {\displaystyle {\vec {v}}} - её скорость , а t {\displaystyle t} - время . При такой формулировке, как и при предшествующей, полагают, что масса материальной точки неизменна во времени .
Иногда предпринимаются попытки распространить сферу применения уравнения d p → d t = F → {\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}} и на случай тел переменной массы. Однако, вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходится существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила .
Замечания
Когда на материальную точку действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции , второй закон Ньютона записывается в виде:
m a → = ∑ i = 1 n F i → {\displaystyle m{\vec {a}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}} d p → d t = ∑ i = 1 n F i → . {\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}.}Второй закон Ньютона, как и вся классическая механика, справедлив только для движения тел со скоростями, много меньшими скорости света . При движении тел со скоростями, близкими к скорости света, используется релятивистское обобщение второго закона , получаемое в рамках специальной теории относительности .
Следует учитывать, что нельзя рассматривать частный случай (при F → = 0 {\displaystyle {\vec {F}}=0} ) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.
Историческая формулировка
Исходная формулировка Ньютона:
Третий закон Ньютона
Этот закон описывает, как взаимодействуют две материальные точки. Возьмём для примера замкнутую систему, состоящую из двух материальных точек. Первая точка может действовать на вторую с некоторой силой , а вторая - на первую с силой . Как соотносятся силы? Третий закон Ньютона утверждает: сила действия F → 1 → 2 {\displaystyle {\vec {F}}_{1\to 2}} равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия F → 2 → 1 {\displaystyle {\vec {F}}_{2\to 1}} .
Третий закон Ньютона является следствием однородности , изотропности и зеркальной симметрии пространства .
Современная формулировка
Закон утверждает, что силы возникают лишь попарно, причём любая сила, действующая на тело, имеет источник происхождения в виде другого тела. Иначе говоря, сила всегда есть результат взаимодействия тел. Существование сил, возникших самостоятельно, без взаимодействующих тел, невозможно .
Историческая формулировка
Ньютон дал следующую формулировку закона :
Следствия законов Ньютона
Законы Ньютона являются аксиомами классической ньютоновской механики. Из них, как следствия, выводятся уравнения движения механических систем, а также «законы сохранения», указанные ниже. Разумеется, есть и законы (например, всемирного тяготения или Гука), не вытекающие из трёх постулатов Ньютона.
Уравнения движения
Уравнение F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} является дифференциальным уравнением : ускорение есть вторая производная от координаты по времени . Это значит, что эволюцию (перемещение) механической системы во времени можно однозначно определить, если задать её начальные координаты и начальные скорости.
Заметим, что если бы уравнения, описывающие наш мир, были бы уравнениями первого порядка, то из нашего мира исчезли бы такие явления, как инерция , колебания , волны .
Закон сохранения импульса
Закон сохранения импульса утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная , если векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю .
Закон сохранения механической энергии
Законы Ньютона и силы инерции
Использование законов Ньютона предполагает задание некой ИСО. Однако, на практике приходится иметь дело и с неинерциальными системами отсчёта . В этих случаях, помимо сил, о которых идёт речь во втором и третьем законах Ньютона, в механике вводятся в рассмотрение так называемые силы инерции .
Обычно речь идёт о силах инерции двух различных типов . Сила первого типа (даламберова сила инерции ) представляет собой векторную величину, равную произведению массы материальной точки на её ускорение, взятое со знаком минус. Силы второго типа (эйлеровы силы инерции ) используются для получения формальной возможности записи уравнений движения тел в неинерциальных системах отсчёта в виде, совпадающем с видом второго закона Ньютона. По определению, эйлерова сила инерции равна произведению массы материальной точки на разность между значениями её ускорения в той неинерциальной системе отсчёта, для которой эта сила вводится, с одной стороны, и в какой-либо инерциальной системе отсчёта , с другой . Определяемые таким образом силы инерции силами в истинном смысле слова не являются , их называют фиктивными , кажущимися или псевдосилами .
Законы Ньютона в логике курса механики
Существуют методологически различные способы формулирования классической механики, то есть выбора её фундаментальных постулатов , на основе которых затем выводятся законы-следствия и уравнения движения. Придание законам Ньютона статуса аксиом, опирающихся на эмпирический материал, - только один из таких способов («ньютонова механика»). Этот подход принят в средней школе, а также в большинстве вузовских курсов общей физики.
Альтернативным подходом, использующимся преимущественно в курсах теоретической физики, выступает лагранжева механика . В рамках лагранжева формализма имеются одна-единственная формула (запись действия) и один-единственный постулат (тела движутся так, чтобы действие было стационарным) , являющийся теоретической концепцией. Из этого можно вывести все законы Ньютона, правда, только для лагранжевых систем (в частности, для консервативных систем). Следует, однако, отметить, что все известные фундаментальные взаимодействия описываются именно лагранжевыми системами. Более того, в рамках лагранжева формализма можно легко рассмотреть гипотетические ситуации, в которых действие имеет какой-либо другой вид. При этом уравнения движения станут уже непохожими на законы Ньютона, но сама классическая механика будет по-прежнему применима.
Исторический очерк
Практика применения машин в мануфактурной промышленности, строительство зданий, кораблестроение, использование артиллерии позволили ко времени Ньютона накопиться большому числу наблюдений над механическими процессами. Понятия инерции, силы, ускорения всё более прояснялись в течение XVII столетия. Работы Галилея , Борелли , Декарта , Гюйгенса по механике уже содержали все необходимые теоретические предпосылки для создания Ньютоном в механике логичной и последовательной системы определений и теорем .
Оригинальный текст (лат.)
LEX I
Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quantenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.LEX II
Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi.
Русский перевод этих формулировок законов см. в предыдущих разделах.
Ньютон также дал строгие определения таких физических понятий, как количество движения (не вполне ясно использованное у Декарта ) и сила . Он ввёл в физику понятие массы как меры инертности тела и, одновременно, его гравитационных свойств (ранее физики пользовались понятием вес ).
В середине XVII века ещё не существовало современной техники дифференциального и интегрального исчисления . Соответствующий математический аппарат в 1680-е годы параллельно создавался самим Ньютоном (1642-1727), а также Лейбницем (1646-1716). Завершили математизацию основ механики Эйлер (1707-1783) и Лагранж (1736-1813).
Примечания
- Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии. Перевод с латинского и примечания А. Н. Крылова / под ред. Полака Л. С.. - М. : Наука, 1989. - С. 40-41. - 690 с. - (Классики науки). - 5 000 экз. - ISBN 5-02-000747-1 .
- Тарг С. М. Ньютона законы механики // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров . - М. : Большая российская энциклопедия, 1992. - Т. 3: Магнитоплазменный - Пойнтинга теорема. - С. 370. - 672 с. - 48 000 экз. - ISBN 5-85270-019-3 .
- Инерция // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров . - М. : Советская энциклопедия , 1990. - Т. 2. - С. 146. - 704 с. - ISBN 5-85270-061-4 .
- Инерциальная система отсчёта // Физическая энциклопедия (в 5 томах) / Под редакцией акад. А. М. Прохорова . - М. : Советская Энциклопедия , 1988. - Т. 2. - С. 145. - ISBN 5-85270-034-7 .
- «Дополнительной характеристикой (по сравнению с геометрическими характеристиками) материальной точки является скалярная величина m - масса материальной точки, которая, вообще говоря, может быть как постоянной, так и переменной величиной. … В классической ньютоновской механике материальная точка обычно моделируется геометрической точкой с присущей ей постоянной массой) являющейся мерой её инерции.» стр. 137 Седов Л. И. , Цыпкин А. Г. Основы макроскопических теорий гравитации и электромагнетизма. М: Наука, 1989.
- Маркеев А. П. Теоретическая механика. - М. : ЧеРО, 1999. - С. 87. - 572 с. «Масса материальной точки считается постоянной величиной, не зависящей от обстоятельств движения».
- Голубев Ю. Ф. Основы теоретической механики. - М. : МГУ, 2000. - С. 160. - 720 с. - ISBN 5-211-04244-1 . «Аксиома 3.3.1. Масса материальной точки сохраняет своё значение не только во времени, но и при любых взаимодействиях материальной точки с другими материальными точками независимо от их числа и от природы взаимодействий».
- Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики. - М. : Физматлит, 2001. - С. 9. - 319 с. - ISBN 5-95052-041-3 . «Масса [материальной точки] полагается постоянной, независящей ни от положения точки в пространстве, ни от времени».
- Маркеев А. П. Теоретическая механика. - М. : ЧеРО, 1999. - С. 254. - 572 с. «…второй закон Ньютона справедлив только для точки постоянного состава. Динамика систем переменного состава требует особого рассмотрения».
- «В ньютоновской механике… m=const и dp/dt=ma». Иродов И. Е. Основные законы механики. - М. : Высшая школа, 1985. - С. 41. - 248 с. .
- Kleppner D., Kolenkow R. J. An Introduction to Mechanics . - McGraw-Hill, 1973. - P. 112. - ISBN 0-07-035048-5 . «For a particle in Newtonian mechanics, M is a constant and (d/dt)(Mv ) = M(dv /dt) = Ma ».
Второй закон Ньютона - дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этого ускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как меру проявления инертности материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО).
Современная формулировка
В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.
При подходящем выборе единиц измерения, этот закон можно записать в виде формулы:
где: - ускорение материальной точки;
Сила, приложенная к материальной точке;
m - масса материальной точки.
Или в более известном виде:
В случае, когда масса материальной точки меняется со временем, второй закон Ньютона формулируется с использованием понятия импульс:
В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей всех приложенных к ней сил.
где: - импульс точки,
где: - скорость точки;
Производная импульса по времени.
Когда на тело действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции второй закон Ньютона записывается:
Второй закон Ньютона действителен только для скоростей, много меньших скорости света и в инерциальных системах отсчёта. Для скоростей, приближенных к скорости света, используются законы теории относительности.
Нельзя рассматривать частный случай (при ) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.
Историческая формулировка
Исходная формулировка Ньютона:
Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.
6.2. Масса и импульс.
1) И́мпульс (Количество движения) - векторная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этой точки на её скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:
В более общем виде, справедливом также и в релятивистской механике, определение имеет вид:
Импульс - это аддитивный интеграл движения механической системы, связанный согласно теореме Нётер с фундаментальной симметрией - однородностью пространства.
2) Ма́сса (от греч. μάζα) - одна из важнейших физических величин. Первоначально (XVII-XIX века) она характеризовала «количество вещества» в физическом объекте, от которого, по представлениям того времени, зависели как способность объекта сопротивляться приложенной силе (инертность), так и гравитационные свойства - вес. Тесно связана с понятиями «энергия» и «импульс» (по современным представлениям - масса эквивалентна энергии покоя).
В современной физике понятие «количество вещества» имеет другой смысл, а концепцию «масса» можно трактовать несколькими способами:
Пассивная гравитационная масса показывает, с какой силой тело взаимодействует с внешними гравитационными полями - фактически эта масса положена в основу измерения массы взвешиванием в современной метрологии.
Активная гравитационная масса показывает, какое гравитационное поле создаёт само это тело - гравитационные массы фигурируют в законе всемирного тяготения.
Инертная масса характеризует меру инертности тел и фигурирует в одной из формулировок второго закона Ньютона. Если произвольная сила в инерциальной системе отсчёта одинаково ускоряет разные исходно неподвижные тела, этим телам приписывают одинаковую инертную массу.
