Začnimo z definicijo. delo A moč F pri premikanju X telesa, na katerega se nanaša, je definiran kot skalarni produkt vektorjev F in X .
A=F x= Fxcosα.(2.9.1)
Kje α – kot med smerema sile in premika.
Zdaj bomo potrebovali izraz (1.6 a), ki smo ga dobili za enakomerno pospešeno gibanje. Toda naredili bomo univerzalni zaključek, ki se imenuje izrek o kinetični energiji. Torej, prepišimo enakost (1.6 a)
a x=(V 2 –V 0 2)/2.
Pomnožimo obe strani enačbe z maso delca, dobimo
Fx=m(V 2 –V 0 2)/2.
Končno
A= m V 2 /2 – m V 0 2 /2. (2.9.1)
Velikost E=m V 2 /2 imenujemo kinetična energija delca.
Navajeni ste, da imajo v geometriji izreki svojo ustno formulacijo. Da bi sledili tej tradiciji, predstavimo izrek o kinetični energiji v besedilni obliki.
Sprememba kinetične energije telesa je enaka delu vseh sil, ki delujejo nanj.
Ta izrek je univerzalen, torej velja za vsako vrsto gibanja. Vendar njegov natančen dokaz vključuje uporabo integralnega računa. Zato ga izpuščamo.
Oglejmo si primer gibanja telesa v gravitacijskem polju. Delo gravitacije ni odvisno od vrste trajektorije, ki povezuje začetno in končno točko, ampak je določeno le z razliko v višini v začetni in končni legi:
A=mg( h 1 –h 2). (2.9.2)
Vzemimo neko točko v gravitacijskem polju za izhodišče in razmislimo o delu, ki ga opravi sila gravitacije, ko premakne delec na to točko iz druge poljubne točke R, ki se nahaja na višini h. To delo je enako mgh in se imenuje potencialna energija E n delcev v točki R:
E n = mgh(2.9.3)
Zdaj transformiramo enakost (2.9.1), mehanski izrek o kinetični energiji dobi obliko
A= m V 2 /2 – m V 0 2 /2= E p1 – E p2. (2.9.4)
m V 2 /2+ E n2 = m V 0 2 /2+ E p1.
V tej enakosti je na levi strani vsota kinetične in potencialne energije na končni točki trajektorije, na desni pa na začetni točki.
Ta količina se imenuje skupna mehanska energija. Označili ga bomo E.
E=E k + E p.
Prišli smo do zakona o ohranitvi celotne energije: v zaprtem sistemu se celotna energija ohrani.
Vendar je treba narediti eno opombo. Medtem ko smo si ogledovali primer t.i konservativne sile. Te sile so odvisne le od lege v prostoru. In delo, ki ga opravijo takšne sile pri premikanju telesa iz enega položaja v drugega, je odvisno samo od teh dveh položajev in ni odvisno od poti. Delo, ki ga opravi konzervativna sila, je mehansko reverzibilno, to pomeni, da spremeni predznak, ko se telo vrne v prvotni položaj. Gravitacija je konzervativna sila. V prihodnosti se bomo seznanili z drugimi vrstami konzervativnih sil, na primer s silo elektrostatične interakcije.
Toda v naravi obstajajo tudi nekonservativne sile. Na primer sila drsnega trenja. Daljša ko je pot delca, več dela ima sila drsnega trenja, ki deluje na ta delec. Poleg tega je delo sile drsnega trenja vedno negativno, to pomeni, da taka sila ne more "vrniti" energije.
Pri zaprtih sistemih se celotna energija seveda ohrani. Toda za večino problemov v mehaniki je pomembnejši poseben primer zakona o ohranitvi energije, in sicer zakon o ohranitvi celotne mehanske energije. Tukaj je njegovo besedilo.
Če na telo delujejo le konzervativne sile, potem se njegova skupna mehanska energija, definirana kot vsota kinetične in potencialne energije, ohrani..
V nadaljevanju bomo potrebovali še dve pomembni enakosti. Kot vedno bomo zaključek nadomestili s preprosto demonstracijo posebnega primera gravitacijskega polja. Toda oblika teh enakosti bo veljavna za vse konservativne sile.
Zreducirajmo enakost (2.9.4) na obliko
A=F∆x= E p1 – E n2 = –( E p.kon – E n.začetek)= – ∆U.
Tukaj smo si ogledali delo A pri premikanju telesa za razdaljo ∆ x. Vrednost ∆U, ki je enaka razliki med končno in začetno potencialno energijo, imenujemo sprememba potencialne energije. In tako nastala enakost si zasluži posebno vrstico in posebno številko. Pohitimo, da mu ga dodelimo:
A=– ∆U (2.9.5)
Od tu sledi matematično razmerje med silo in potencialno energijo:
F= – ∆U/∆ x(2.9.6)
V splošnem primeru, ki ni povezan z gravitacijskim poljem, je enačba (2.9.6) najenostavnejša diferencialna enačba
F= – dU/dx.
Razmislimo o zadnjem primeru brez dokaza. Gravitacijsko silo opisuje zakon univerzalne gravitacije F(r)=GmM/r 2 in je konzervativen. Izraz za potencialno energijo gravitacijskega polja ima obliko:
U(r)= –GmM/r.
Avtor: – Poglejmo preprost primer. Na telo z maso m, ki leži na vodoravni ravnini, nekaj časa deluje T horizontalna sila F. Nobenega trenja ni. Kaj je delo, opravljeno s silo? F?
študent: – Med T telo se bo premaknilo za razdaljo S= aT 2/2, kjer A=F/m. Zato je potrebno delo A=F S= F 2 T 2/(2m).
Avtor: Vse je pravilno, če predpostavimo, da je telo mirovalo, preden je nanj začela delovati sila. Malo zakomplicirajmo nalogo. Naj se telo pred nastopom sile giblje premočrtno in enakomerno z določeno hitrostjo V 0, ki je sosmerjena z zunanjo silo. Kakšno je pravočasno opravljeno delo? T?
študent: – Za izračun odmika bom uporabil bolj splošno formulo S= V 0 T+aT 2/2, dobim za delo A=F(V 0 T+aT 2/2). Če primerjam s prejšnjim rezultatom, vidim, da ista sila povzroči različno delo v enakih časovnih obdobjih.
Telo z maso m drsi po nagnjeni ravnini z naklonskim kotom α. Koeficient drsnega trenja telesa na ravnini k. Na telo ves čas deluje vodoravna sila F. Kolikšno je delo te sile pri premikanju telesa za razdaljo S?
študent: – Razporedimo sile in poiščimo njihovo rezultanto. Na telo deluje zunanja sila F, pa tudi sile težnosti, reakcije opore in trenja.
študent: – Izkazalo se je, da je delo A = F S cosα in to je to. Res me je pustila na cedilu navada, da vsakič iščem vse sile, sploh ker je bila v nalogi navedena masa in koeficient trenja.
študent: – Delo sile F Sem že izračunal: A 1 = F S cosα. Delo, ki ga opravi gravitacija, je A 2 =mgS grehα. Delo sile trenja ... je negativno, saj sta vektorja sile in premika nasprotno usmerjena: A 3 = – kmgS cosα. Delovanje reakcijske sile n je enaka nič, ker sta sila in premik pravokotni. Je res, da res ne razumem pomena negativnega dela?
Avtor: – To pomeni, da delo določene sile zmanjša kinetično energijo telesa. Mimogrede. Razpravljajmo o gibanju telesa, prikazanega na sliki 2.9.1, z vidika zakona o ohranitvi energije. Najprej poiščite skupno delo vseh sil.
študent: - A= A 1 + A 2 + A 3 = FS cosα+ mgS grehα– kmgS cosα.
Po izreku o kinetični energiji je razlika med kinetično energijo v končnem in začetnem stanju enaka delu, ki ga telo opravi:
E Za - E n = A.
študent: – Mogoče so bile to druge enačbe, ki niso povezane s tem problemom?
Avtor: – Toda vse enačbe bi morale dati enak rezultat. Bistvo je, da je potencialna energija latentna v izrazu za skupno delo. Dejansko si zapomnite A 2 = mgS grehα=mgh, kjer je h višina spusta telesa. Zdaj iz izreka o kinetični energiji dobimo izraz za zakon o ohranitvi energije.
študent: – Ker je mgh=U n – U k, kjer sta U n in U k začetna oziroma končna potencialna energija telesa, imamo:
m V n 2 /2 + U n + A 1 + A 3 = m V na 2 /2+ U Za.
študent: – To je po mojem mnenju enostavno. Delo, ki ga opravi sila trenja, je po velikosti popolnoma enako količini toplote Q. Zato Q= kmgS cosα.
študent: m V n 2 /2 + U n + A 1 – Q= m V na 2 /2+ U Za.
Avtor: – Zdaj pa nekoliko posplošimo definicijo dela. Dejstvo je, da razmerje (2.9.1) velja samo za primer konstantne sile. Čeprav je veliko primerov, ko je sama sila odvisna od gibanja delca. Navedite primer.
študent: – Prva stvar, ki pride na misel, je spomladansko raztezanje. Ko se ohlapni konec vzmeti premika, se sila povečuje. Drugi primer je povezan z nihalom, ki ga je, kot vemo, težje držati pri velikih odstopanjih od ravnotežnega položaja.
Avtor: – Globa. Poglejmo spomladanski primer. Elastično silo idealne vzmeti opisuje Hookov zakon, po katerem je vzmet stisnjena (ali raztegnjena) za X se pojavi sila, ki je nasprotna premiku, linearno odvisna od X. Zapišimo Hookov zakon kot enakost:
F= – k x (2.9.2)
Tukaj je k koeficient togosti vzmeti, x– obseg deformacije vzmeti. Narišite graf razmerja F(x).
študent: Moja risba je prikazana na sliki.
Slika 2.9.2
Leva polovica grafa ustreza stiskanju vzmeti, desna polovica pa napetosti.
Avtor: – Zdaj pa izračunajmo delo, ki ga opravi sila F pri premikanju iz X=0 do X= S. Za to obstaja splošno pravilo. Če poznamo splošno odvisnost sile od premika, potem je delo na odseku od x 1 do x 2 površina pod krivuljo F (x) na tem segmentu.
študent: – To pomeni, da je delo, ki ga opravi prožnostna sila pri premikanju telesa iz X=0 do X=S je negativen, njegov modul pa je enak površini pravokotnega trikotnika: A= kS 2 /2.
A= k X 2 /2. (2.9.3)
To delo se pretvori v potencialno energijo deformirane vzmeti.
Zgodba.
Rutherford je poslušalcem demonstriral razpad radija. Zaslon se je izmenično svetil in temnil.
– Zdaj vidite – je rekel Rutherford, – da se nič ne vidi. In zakaj se nič ne vidi, boste zdaj videli.
Pogled: ta članek je bil prebran 48440 krat
Pdf Izberite jezik... rusko ukrajinsko angleščino
Kratek pregled
Celotno gradivo se prenese zgoraj, po izbiri jezika
Dva primera transformacije mehanskega gibanja materialne točke ali sistema točk:
- mehansko gibanje se prenaša iz enega mehanskega sistema v drugega kot mehansko gibanje;
- mehansko gibanje se spremeni v drugo obliko gibanja snovi (v obliko potencialne energije, toplote, elektrike itd.).
Kadar obravnavamo transformacijo mehanskega gibanja brez njegovega prehoda v drugo obliko gibanja, je merilo mehanskega gibanja vektor gibalne količine materialne točke ali mehanskega sistema. Merilo sile je v tem primeru vektor impulza sile.
Ko se mehansko gibanje spremeni v drugo obliko gibanja snovi, kinetična energija materialne točke ali mehanskega sistema deluje kot merilo mehanskega gibanja. Merilo za delovanje sile pri pretvarjanju mehanskega gibanja v drugo obliko gibanja je delo sile
Kinetična energija
Kinetična energija je sposobnost telesa, da med premikanjem premaga oviro.
Kinetična energija materialne točke
Kinetična energija materialne točke je skalarna količina, ki je enaka polovici zmnožka mase točke in kvadrata njene hitrosti.
Kinetična energija:
- označuje translacijske in rotacijske gibe;
- ni odvisen od smeri gibanja točk sistema in ne označuje sprememb v teh smereh;
- označuje delovanje notranjih in zunanjih sil.
Kinetična energija mehanskega sistema
Kinetična energija sistema je enaka vsoti kinetičnih energij teles sistema. Kinetična energija je odvisna od vrste gibanja teles sistema.
Določanje kinetične energije trdnega telesa za različne vrste gibanja.
Kinetična energija translacijskega gibanja
Pri translacijskem gibanju je kinetična energija telesa enaka T=m V 2 /2.
Merilo za vztrajnost telesa pri translacijskem gibanju je masa.
Kinetična energija rotacijskega gibanja telesa
Pri rotacijskem gibanju telesa je kinetična energija enaka polovici produkta vztrajnostnega momenta telesa glede na vrtilno os in kvadrata njegove kotne hitrosti.
Merilo za vztrajnost telesa med rotacijskim gibanjem je vztrajnostni moment.
Kinetična energija telesa ni odvisna od smeri vrtenja telesa.
Kinetična energija ravni vzporednega gibanja telesa
Pri ravni vzporednem gibanju telesa je kinetična energija enaka
Delo sile
Delo sile označuje delovanje sile na telo med gibanjem in določa spremembo modula hitrosti gibljive točke.
Elementarno delo sile
Osnovno delo sile je definirano kot skalarna količina, ki je enaka zmnožku projekcije sile na tangento na trajektorijo, usmerjeno v smeri gibanja točke, in infinitezimalnega premika točke, usmerjenega vzdolž te. tangenta.
Delo, opravljeno s silo pri končnem premiku
Delo sile na končni premik je enako vsoti njenega dela na osnovnih odsekih.
Delo sile na končni pomik M 1 M 0 je enako integralu elementarnega dela vzdolž tega pomika.
Delo sile na premik M 1 M 2 je prikazano s površino slike, omejeno z osjo abscise, krivuljo in ordinatami, ki ustrezajo točkama M 1 in M 0.
Merska enota za delo sile in kinetično energijo v sistemu SI je 1 (J).
Izreki o delu sile
1. izrek. Delo, ki ga opravi rezultanta sile na določen premik, je enako algebraični vsoti del, ki jih opravijo komponente sil na isti premik.
2. izrek. Delo, ki ga konstantna sila opravi na nastali premik, je enako algebraični vsoti dela, ki ga ta sila opravi na premike komponent.
Moč
Moč je količina, ki določa delo, ki ga sila opravi na enoto časa.
Enota za merjenje moči je 1W = 1 J/s.
Primeri določanja dela sil
Delo notranjih sil
Vsota dela, ki ga opravijo notranje sile togega telesa med katerim koli gibanjem, je enaka nič.
Delo gravitacije
Delo elastične sile
Delo sile trenja
Delo sil, ki delujejo na vrteče se telo
Osnovno delo sil, ki delujejo na togo telo, ki se vrti okoli fiksne osi, je enako zmnožku glavnega momenta zunanjih sil glede na os vrtenja in prirastka kota vrtenja.
Kotalni upor
V kontaktnem območju stacionarnega valja in ravnine pride do lokalne deformacije kontaktnega stiskanja, napetost se porazdeli po eliptičnem zakonu, linija delovanja rezultantne N teh napetosti pa sovpada z linijo delovanja obremenitve. sila na valj Q. Ko se valj kotali, postane porazdelitev obremenitve asimetrična z maksimumom, premaknjenim proti gibanju. Rezultanta N se premakne za količino k - krak sile kotalnega trenja, ki se imenuje tudi koeficient kotalnega trenja in ima dimenzijo dolžine (cm)
Izrek o spremembi kinetične energije materialne točke
Sprememba kinetične energije materialne točke pri določenem odmiku je enaka algebraični vsoti vseh sil, ki delujejo na točko pri enakem odmiku.
Izrek o spremembi kinetične energije mehanskega sistema
Sprememba kinetične energije mehanskega sistema pri določenem odmiku je enaka algebraični vsoti notranjih in zunanjih sil, ki delujejo na materialne točke sistema pri enakem odmiku.
Izrek o spremembi kinetične energije trdnega telesa
Sprememba kinetične energije togega telesa (nespremenjenega sistema) pri določenem odmiku je enaka vsoti zunanjih sil, ki delujejo na točke sistema pri enakem odmiku.
Učinkovitost
Sile, ki delujejo v mehanizmih
Sile in pare sil (momentov), ki delujejo na mehanizem ali stroj, lahko razdelimo v skupine:
1. Pogonske sile in momenti, ki opravljajo pozitivno delo (na pogonske člene, npr. tlak plina na batu v motorju z notranjim zgorevanjem).
2. Sile in momenti upora, ki opravljajo negativno delo:
- uporabni upor (opravljajo delo, ki se zahteva od stroja, in se nanašajo na gnane člene, na primer upor bremena, ki ga dvigne stroj),
- sile upora (na primer sile trenja, zračni upor itd.).
3. Gravitacijske in prožne sile vzmeti (tako pozitivno kot negativno delo, medtem ko je delo za polni cikel enako nič).
4. Sile in momenti, ki delujejo na telo ali stojalo od zunaj (reakcija temeljev itd.), ki ne delujejo.
5. Interakcijske sile med členi, ki delujejo v kinematičnih parih.
6. Vztrajnostne sile členov, ki jih povzroča masa in gibanje členov s pospeškom, lahko opravljajo pozitivno, negativno delo in ne opravljajo dela.
Delo sil v mehanizmih
Ko stroj deluje v ustaljenem stanju, se njegova kinetična energija ne spremeni in je vsota dela pogonskih sil in sil upora, ki delujejo nanj, enaka nič.
Delo, vloženo pri spravljanju stroja v gibanje, se porabi v premagovanju koristnih in škodljivih odporov.
Učinkovitost mehanizma
Mehanski izkoristek pri enakomernem gibanju je enak razmerju med koristnim delom stroja in delom, porabljenim za postavitev stroja v gibanje:
Strojni elementi so lahko povezani zaporedno, vzporedno in mešano.
Učinkovitost pri zaporedni povezavi
Pri zaporedni vezavi mehanizmov je skupni izkoristek manjši od najnižjega izkoristka posameznega mehanizma.
Učinkovitost pri vzporedni povezavi
Pri vzporedni povezavi mehanizmov je skupni izkoristek večji od najnižjega in manjši od največjega izkoristka posameznega mehanizma.
Format: pdf
Jezik: ruski, ukrajinski
Primer izračuna čelnega zobnika
Primer izračuna čelnega zobnika. Izvedena je bila izbira materiala, izračun dovoljenih napetosti, izračun kontaktne in upogibne trdnosti.
Primer reševanja problema upogibanja nosilca
V primeru so bili izdelani diagrami prečnih sil in upogibnih momentov, najden nevaren odsek in izbran I-nosilec. Problem je analiziral konstrukcijo diagramov z uporabo diferencialnih odvisnosti in izvedel primerjalno analizo različnih prerezov žarka.
Primer reševanja problema torzije gredi
Naloga je preizkusiti trdnost jeklene gredi pri danem premeru, materialu in dovoljeni napetosti. Med reševanjem se izdelajo diagrami navorov, strižnih napetosti in zasučnih kotov. Lastna teža gredi se ne upošteva
Primer reševanja problema napetosti-stiskanja palice
Naloga je preizkusiti trdnost jeklene palice pri določenih dovoljenih napetostih. Pri reševanju se izdelajo diagrami vzdolžnih sil, normalnih napetosti in pomikov. Lastna teža palice se ne upošteva
Uporaba izreka o ohranitvi kinetične energije
Primer reševanja problema z uporabo izreka o ohranitvi kinetične energije mehanskega sistema
Skalarno količino T, ki je enaka vsoti kinetičnih energij vseh točk sistema, imenujemo kinetična energija sistema.
Kinetična energija je značilnost translacijskega in rotacijskega gibanja sistema. Na njegovo spremembo vpliva delovanje zunanjih sil in ker je skalar, ni odvisen od smeri gibanja delov sistema.
Poiščimo kinetično energijo za različne primere gibanja:
1.Gibanje naprej
Hitrosti vseh točk sistema so enake hitrosti središča mase. Potem
Kinetična energija sistema pri translacijskem gibanju je enaka polovici produkta mase sistema in kvadrata hitrosti središča mase.
2. Rotacijsko gibanje(Slika 77)
Hitrost katere koli točke na telesu: . Potem
ali z uporabo formule (15.3.1):
Kinetična energija telesa med vrtenjem je enaka polovici produkta vztrajnostnega momenta telesa glede na vrtilno os in kvadrata njegove kotne hitrosti.
3. Ravnsko vzporedno gibanje
Za dano gibanje je kinetična energija sestavljena iz energije translacijskega in rotacijskega gibanja
Splošni primer gibanja daje formulo za izračun kinetične energije, podobno zadnji.
Definicijo dela in moči smo podali v 3. odstavku 14. poglavja. Tukaj si bomo ogledali primere izračuna dela in moči sil, ki delujejo na mehanski sistem.
1.Delo gravitacijskih sil. Naj , koordinate začetne in končne lege točke k telesa. Delo, ki ga opravi gravitacijska sila, ki deluje na ta delec teže, bo 
. Nato celotno delo:
kjer je P teža sistema materialnih točk, je navpični premik težišča C.
2. Delo sil, ki delujejo na vrteče se telo.
Glede na relacijo (14.3.1) lahko zapišemo , ds po sliki 74 pa lahko zaradi neskončne majhnosti predstavimo v obliki 
- neskončno majhen kot zasuka telesa. Potem
Magnituda 
imenovan navor.
Formulo (19.1.6) prepišemo kot
Osnovno delo je enako zmnožku navora in osnovnega vrtenja.
Pri rotaciji za končni kot imamo:
Če je navor konstanten, potem
moč pa določimo iz relacije (14.3.5)
kot produkt navora in kotne hitrosti telesa.
Izrek o spremembi kinetične energije, dokazan za točko (§ 14.4), bo veljaven za katero koli točko v sistemu
Če sestavimo takšne enačbe za vse točke sistema in jih seštejemo člen za členom, dobimo:
ali v skladu z (19.1.1):
ki je izraz izreka o kinetični energiji sistema v diferencialni obliki.
Z integracijo (19.2.2) dobimo:
Izrek o spremembi kinetične energije v končni obliki: sprememba kinetične energije sistema med nekim končnim premikom je enaka vsoti dela vseh zunanjih in notranjih sil, ki delujejo na sistem pri tem premiku.
Poudarjamo, da notranje sile niso izključene. Za nespremenljiv sistem je vsota dela vseh notranjih sil enaka nič in
Če se omejitve, naložene sistemu, sčasoma ne spremenijo, potem lahko sile, tako zunanje kot notranje, razdelimo na aktivne in reakcijske omejitve in enačbo (19.2.2) zdaj lahko zapišemo:
V dinamiki je uveden koncept "idealnega" mehanskega sistema. To je sistem, v katerem prisotnost povezav ne vpliva na spremembo kinetične energije, tj
Take povezave, ki se s časom ne spreminjajo in katerih vsota dela na elementarni premik je enaka nič, imenujemo idealne in enačbo (19.2.5) zapišemo:
Potencialna energija materialne točke v danem položaju M je skalarna količina P, enaka delu, ki ga bodo povzročile poljske sile, ko premaknejo točko iz položaja M na nič
P = A (mo) (19.3.1)
Potencialna energija je odvisna od položaja točke M, torej od njenih koordinat
P = P(x,y,z) (19.3.2)
Naj tu pojasnimo, da je polje sil del prostorskega volumna, v vsaki točki katerega na delec deluje sila določene velikosti in smeri, odvisno od lege delca, to je od koordinat x, y, z. Na primer gravitacijsko polje Zemlje.
Imenuje se funkcija U koordinat, katere diferencial je enak delu funkcija moči. Polje sile, za katero obstaja funkcija sile, se imenuje potencialno polje sile, sile, ki delujejo v tem polju, pa so potencialne sile.
Naj ničelni točki za dve funkciji sile P(x,y,z) in U(x,y,z) sovpadata.
Z uporabo formule (14.3.5) dobimo, tj. dA = dU(x,y,z) in
kjer je U vrednost funkcije sile v točki M. Zato
П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)
Potencialna energija na kateri koli točki polja sile je enaka vrednosti funkcije sile na tej točki, vzeti z nasprotnim predznakom.
To pomeni, da lahko pri obravnavi lastnosti polja sile namesto funkcije sile upoštevamo potencialno energijo in zlasti enačbo (19.3.3) bomo prepisali kot
Delo, ki ga opravi potencialna sila, je enako razliki med vrednostmi potencialne energije gibljive točke v začetni in končni legi.
Zlasti delo gravitacije:
Naj bodo vse sile, ki delujejo na sistem, potencialne. Potem je za vsako točko k sistema delo enako
Potem bodo obstajale vse sile, tako zunanje kot notranje
kje je potencialna energija celotnega sistema.
Te vsote nadomestimo v izraz za kinetično energijo (19.2.3):
ali končno:
Pri gibanju pod vplivom potencialnih sil ostaja vsota kinetične in potencialne energije sistema v vsakem od njegovih položajev konstantna. To je zakon o ohranitvi mehanske energije.
Breme z maso 1 kg prosto niha po zakonu x = 0,1sinl0t. Koeficient togosti vzmeti c = 100 N/m. Določite skupno mehansko energijo bremena pri x = 0,05 m, če je pri x = 0 potencialna energija enaka nič 
. (0,5)
Obremenitev z maso m = 4 kg, ki pade navzdol, s pomočjo niti povzroči vrtenje valja s polmerom R = 0,4 m.Vztrajnostni moment valja glede na vrtilno os je I = 0,2. Določite kinetično energijo sistema teles v trenutku, ko je hitrost bremena v = 2m/s 
. (10,5)
Z drsniki nastavite vrednosti telesne težem, kot naklona ravninea, zunanja sila F ekst , koeficient trenjamin pospeševanje A navedeni v tabeli 1 za vašo ekipo.
Hkrati vklopite štoparico in pritisnite gumb "Start". Ustavite štoparico, ko se vaše telo ustavi na koncu nagnjene ravnine.
Ta poskus naredite 10-krat in rezultate merjenja časa drsenja telesa z nagnjene ravnine zapišite v tabelo. 2.
TABELA 1. Začetni parametri poskusa
|
brigadna št. |
||||||
|
m, kg |
||||||
|
m |
0,10 |
|||||
|
a, deg |
||||||
|
F v, N |
||||||
|
a, m/s 2 |
TABELA 2. Rezultati meritev in izračunov
|
Ni sprememb |
Povprečje pomen |
Pogr. |
||||||||||
|
t, s |
||||||||||||
|
v , m/s |
||||||||||||
|
S, m |
||||||||||||
|
W k, J |
||||||||||||
|
W p, J |
||||||||||||
|
A tr, J |
||||||||||||
|
A v, J |
||||||||||||
|
W poln, J |
W p = - potencialna energija telesa na zgornji točki nagnjene ravnine; |
- delo zunanje sile na odseku spustaRezultanta vseh sil, ki delujejo na telo, je enaka spremembi kinetične energije telesa.
Ta izrek ne velja le za translacijsko gibanje togega telesa, ampak tudi za njegovo poljubno gibanje.
Kinetično energijo imajo samo gibljiva telesa, zato jo imenujemo energija gibanja.
§ 8. Konservativne (potencialne) sile.
Polje konservativnih sil
Def.
Sile, katerih delo ni odvisno od poti, po kateri se telo giblje, ampak je določeno le z začetnim in končnim položajem telesa, imenujemo konzervativne (potencialne) sile.
Def.
Polje sil je območje prostora, na vsako točko katerega deluje sila, ki se naravno spreminja od točke do točke v prostoru.
Def.
Polje, ki se s časom ne spreminja, imenujemo stacionarno.
Naslednje 3 trditve je mogoče dokazati
1) Delo, ki ga konservativne sile opravijo vzdolž katere koli zaprte poti, je enako 0.
Dokaz:
2) Homogeno polje sil je konservativno.
Def.
Polje se imenuje homogeno, če so v vseh točkah polja sile, ki delujejo na tam nameščeno telo, enake po velikosti in smeri.
Dokaz:
3) Polje centralnih sil, v katerem je velikost sile odvisna samo od razdalje do središča, je konservativno.
Def.
Polje centralnih sil je polje sil, v vsaki točki katerega sila, usmerjena vzdolž črte, ki poteka skozi isto fiksno točko - središče polja - deluje na točkovno telo, ki se giblje v njej.
V splošnem primeru tako polje centralnih sil ni konservativno. Če je v polju centralnih sil velikost sile odvisna samo od razdalje do središča silnice (O), t.j. , potem je tako polje konservativno (potencialno).
Dokaz:
kje je antiderivat .
§ 9. Potencialna energija.
Razmerje med silo in potencialno energijo
na področju konservativnih sil
Izberimo izhodišče koordinat kot polje konservativnih sil, tj.
Potencialna energija telesa v polju konservativnih sil. Ta funkcija je določena enolično (odvisno samo od koordinat), ker delo konservativnih sil ni odvisno od vrste poti.
Poiščimo povezavo v polju konservativnih sil pri premikanju telesa iz točke 1 v točko 2.
Delo konservativnih sil je enako spremembi potencialne energije z nasprotnim predznakom.
Potencialna energija telesa polja konzervativnih sil je energija zaradi prisotnosti polja sil, ki nastane kot posledica določene interakcije danega telesa z zunanjim telesom (telesi), ki, kot pravijo, ustvarja polje sile.
Potencialna energija polja konzervativnih sil označuje sposobnost telesa za delo in je številčno enaka delu konzervativnih sil, da premaknejo telo v izhodišče koordinat (ali v točko z ničelno energijo). Odvisno je od izbire ničelne ravni in je lahko negativno. Vsekakor in torej velja tudi za elementarno delo, tj. ali , kjer je projekcija sile na smer gibanja ali elementarnega premika. Zato,. Ker telo lahko premikamo v katero koli smer, potem za katero koli smer velja. Projekcija konservativne sile na poljubno smer je enaka odvodu potencialne energije v tej smeri z nasprotnim predznakom.
Ob upoštevanju raztezanja vektorjev in glede na bazo , , dobimo to
Po drugi strani pa je iz matematične analize znano, da je skupni diferencial funkcije več spremenljivk enak vsoti produktov delnih odvodov glede na argumente in diferencialov argumentov, tj. , kar pomeni iz relacije, ki jo dobimo
Če želite te relacije zapisati bolj kompaktno, lahko uporabite koncept funkcijskega gradienta.
Def.
Gradient neke skalarne koordinatne funkcije je vektor s koordinatami, ki so enake ustreznim parcialnim odvodom te funkcije.
V našem primeru
Def.
Ekvipotencialna površina je geometrijsko mesto točk v polju konzervativnih sil, katerih vrednosti potencialne energije so enake, tj. .
Ker iz definicije ekvipotencialne površine sledi, da za točke na tej površini velja , kot odvod konstante torej .
Tako je konservativna sila vedno pravokotna na ekvipotencialno površino in je usmerjena v smeri zmanjševanja potencialne energije. (P 1 > P 2 > P 3).
§ 10. Potencialna energija interakcije.
Konzervativni mehanski sistemi
Oglejmo si sistem dveh medsebojno delujočih delcev. Naj bodo sile njunega medsebojnega delovanja središčne in velikost sile odvisna od razdalje med delci (takšni sili sta gravitacijska in električna Coulombova sila). Jasno je, da so sile interakcije med dvema delcema notranje.
Ob upoštevanju tretjega Newtonovega zakona () dobimo, tj. delo notranjih sil interakcije med dvema delcema je določeno s spremembo razdalje med njima.
Enako delo bi bilo opravljeno, če bi prvi delec miroval v izvoru, drugi pa bi prejel premik, ki je enak prirastku njegovega polmernega vektorja, tj. delo, ki ga opravijo notranje sile, lahko izračunamo tako, da en delec miruje in da drugo, ki se giblje v polju centralnih sil, katerih velikost je enolično določena z razdaljo med delci. V §8 smo dokazali, da je polje takšnih sil (tj. polje centralnih sil, v katerih je velikost sile odvisna samo od razdalje do središča) konzervativno, kar pomeni, da lahko njihovo delo obravnavamo kot zmanjšanje potencialna energija (opredeljena v skladu z §9 za polje konzervativnih sil).
V obravnavanem primeru je ta energija posledica interakcije dveh delcev, ki tvorita zaprt sistem. Imenuje se interakcijska potencialna energija (ali medsebojna potencialna energija). Odvisen je tudi od izbire ničelne ravni in je lahko negativen.
Def.
Mehanski sistem togih teles, med katerimi so notranje sile konservativne, imenujemo konservativni mehanski sistem.
Lahko se pokaže, da je potencialna interakcijska energija konzervativnega sistema N delcev sestavljena iz potencialnih interakcijskih energij delcev, vzetih v parih, ki si jih lahko predstavljamo.
Kje je potencialna energija interakcije med dvema delcema i-th in j-th. Indeksa i in j v vsoti sprejmeta neodvisne vrednosti 1,2,3, ..., N. Glede na to, da je enaka potencialna energija interakcije i-tega in j-tega delca med seboj, potem ko se seštejemo , bo energija pomnožena z 2, zaradi česar se pred zneskom pojavi koeficient. Na splošno bo potencialna energija interakcije sistema N delcev odvisna od položaja ali koordinat vseh delcev. Lahko vidimo, da je potencialna energija delca v polju konzervativnih sil vrsta potencialne energije interakcije sistema delcev, ker polje sil je posledica neke interakcije teles med seboj.
§ 11. Zakon o ohranitvi energije v mehaniki.
Naj se togo telo giblje translatorno pod delovanjem konzervativnih in nekonservativnih sil, tj. splošni primer. Potem je rezultanta vseh sil, ki delujejo na telo. Delo rezultante vseh sil v tem primeru.
Z izrekom o kinetični energiji in tudi ob upoštevanju tega dobimo
Celotna mehanska energija telesa
Če, potem. To je matematični prikaz zakona o ohranitvi energije v mehaniki za posamezno telo.
Formulacija zakona o ohranitvi energije:
Celotna mehanska energija telesa se ne spremeni, če ne delujejo nekonservativne sile.
Za mehanski sistem N delcev je enostavno pokazati, da (*) obstaja.
pri čemer
Prva vsota tukaj je skupna kinetična energija sistema delcev.
Drugi je skupna potencialna energija delcev v zunanjem polju konservativnih sil
Tretja je potencialna energija interakcije delcev sistema med seboj.
Druga in tretja vsota predstavljata celotno potencialno energijo sistema.
Delo nekonservativnih sil je sestavljeno iz dveh terminov, ki predstavljata delo notranjih in zunanjih nekonservativnih sil.
Enako kot pri gibanju posameznega telesa velja tudi za mehanski sistem N teles, če , potem , in zakon o ohranitvi energije v splošnem primeru za mehanski sistem pravi:
Celotna mehanska energija sistema delcev, ki so le pod vplivom konservativnih sil, se ohrani.
Tako se v prisotnosti nekonservativnih sil celotna mehanska energija ne ohrani.
Nekonzervativne sile so na primer sila trenja, sila upora in druge sile, katerih delovanje povzroči dezinizacijo energije (prehod mehanske energije v toploto).
Sile, ki vodijo do dezinizacije, se imenujejo desinativne. Nekatere sile niso nujno ciljne.
Zakon o ohranitvi energije je univerzalen in ne velja le za mehanske pojave, ampak tudi za vse procese v naravi. Celotna količina energije v izoliranem sistemu teles in polj ostaja vedno konstantna. Energija se lahko premika samo iz ene oblike v drugo.
Ob upoštevanju te enakosti
Če potrebujete dodatno gradivo o tej temi ali niste našli tistega, kar ste iskali, priporočamo iskanje v naši bazi del:
Kaj bomo naredili s prejetim materialom:
Če vam je bilo to gradivo koristno, ga lahko shranite na svojo stran v družabnih omrežjih:
