Matematično nihalo je materialna točka, ki visi na breztežnostni in neraztegljivi niti, ki se nahaja v gravitacijskem polju Zemlje. Matematično nihalo je idealiziran model, ki pravilno opiše pravo nihalo le pod določenimi pogoji. Pravo nihalo se lahko šteje za matematično, če je dolžina niti veliko večja od velikosti telesa, ki visi na njej, masa niti je zanemarljiva v primerjavi z maso telesa in so deformacije niti tako majhne da jih je mogoče povsem zanemariti.
Nihajni sistem v tem primeru tvorijo nit, nanjo pritrjeno telo in Zemlja, brez katere ta sistem ne bi mogel služiti kot nihalo.
Kje A X – pospešek, g - gravitacijski pospešek, X- premik, l– dolžina niti nihala.
Ta enačba se imenuje enačba prostih nihanj matematičnega nihala. Pravilno opisuje zadevne vibracije le, če so izpolnjene naslednje predpostavke:
2) upoštevana so le majhna nihanja nihala z majhnim kotom nihanja.
Proste vibracije katerega koli sistema so v vseh primerih opisane s podobnimi enačbami.
Vzroki za prosta nihanja matematičnega nihala so:
1. Delovanje napetosti in gravitacije na nihalo, ki preprečuje, da bi se premaknilo iz ravnotežnega položaja in ga prisili, da ponovno pade.
2. Vztrajnost nihala, zaradi katere se ob ohranjanju hitrosti ne ustavi v ravnotežnem položaju, ampak gre skozi njega naprej.
Perioda prostih nihanj matematičnega nihala
Perioda prostega nihanja matematičnega nihala ni odvisna od njegove mase, ampak je določena le z dolžino niti in gravitacijskim pospeškom na mestu, kjer se nahaja nihalo.
Pretvorba energije med harmoničnimi nihanji
Pri harmoničnem nihanju vzmetnega nihala se potencialna energija elastično deformiranega telesa pretvori v njegovo kinetično energijo, kjer k – koeficient elastičnosti, X - modul odmika nihala iz ravnotežnega položaja, m- masa nihala, v- njegova hitrost. Glede na enačbo harmoničnih vibracij:
,
.
Skupna energija vzmetnega nihala:
.
Skupna energija za matematično nihalo:
V primeru matematičnega nihala
Transformacije energije med nihanjem vzmetnega nihala potekajo v skladu z zakonom o ohranitvi mehanske energije ( 
). Ko se nihalo premakne navzdol ali navzgor iz ravnotežnega položaja, se njegova potencialna energija poveča, kinetična energija pa zmanjša. Ko nihalo prečka ravnotežni položaj ( X= 0), je njegova potencialna energija enaka nič, kinetična energija nihala pa ima največjo vrednost, ki je enaka njegovi celotni energiji.
Tako se v procesu prostih nihanj nihala njegova potencialna energija spremeni v kinetično, kinetična v potencialno, potencialna nato spet v kinetično itd. Celotna mehanska energija pa ostane nespremenjena.
Prisilne vibracije. Resonanca.
Imenujejo se nihanja, ki nastanejo pod vplivom zunanje periodične sile prisilna nihanja. Zunanja periodična sila, imenovana gonilna sila, daje oscilacijskemu sistemu dodatno energijo, ki se porabi za dopolnitev izgub energije, ki nastanejo zaradi trenja. Če se gonilna sila skozi čas spreminja po zakonu sinusa ali kosinusa, bodo prisilna nihanja harmonična in nedušena.
Za razliko od prostih nihanj, ko sistem prejme energijo samo enkrat (ko je sistem spravljen iz ravnovesja), pri prisilnih nihanjih sistem to energijo neprekinjeno absorbira iz vira zunanje periodične sile. Ta energija nadomesti izgube, porabljene za premagovanje trenja, zato skupna energija nihajnega sistema ostane nespremenjena.
Frekvenca prisilnih nihanj je enaka frekvenci pogonske sile. V primeru, da je frekvenca pogonske sile υ sovpada z lastno frekvenco nihajnega sistema υ 0 , močno se poveča amplituda prisilnih nihanj - resonanca. Resonanca nastane zaradi tega, ko υ = υ 0 zunanja sila, ki deluje sočasno s prostimi nihaji, je vedno usklajena s hitrostjo nihajnega telesa in opravlja pozitivno delo: energija nihajnega telesa se poveča, amplituda njegovih nihajev pa postane velika. Graf amplitude prisilnih nihanj A T na frekvenco pogonske sile υ prikazan na sliki, se ta graf imenuje resonančna krivulja:
Pojav resonance igra pomembno vlogo v številnih naravnih, znanstvenih in industrijskih procesih. Na primer, pri načrtovanju mostov, zgradb in drugih konstrukcij, ki pod obremenitvijo doživljajo tresljaje, je treba upoštevati pojav resonance, sicer se lahko pod določenimi pogoji te strukture uničijo.
Mehanski sistem, ki ga sestavlja materialna točka (telo), ki visi na neraztegljivi breztežnostni niti (njena masa je v primerjavi s težo telesa zanemarljiva) v enotnem gravitacijskem polju, se imenuje matematično nihalo (drugo ime je oscilator). Obstajajo še druge vrste te naprave. Namesto niti lahko uporabimo breztežno palico. Matematično nihalo lahko jasno razkrije bistvo mnogih zanimivih pojavov. Kadar je amplituda nihanja majhna, se njegovo gibanje imenuje harmonično.
Pregled mehanskega sistema
Formulo za obdobje nihanja tega nihala je izpeljal nizozemski znanstvenik Huygens (1629-1695). Ta sodobnik I. Newtona je bil zelo zainteresiran za ta mehanski sistem. Leta 1656 je ustvaril prvo uro z nihalnim mehanizmom. Čas so merili za tiste čase izjemno natančno. Ta izum je postal pomembna faza v razvoju fizičnih poskusov in praktičnih dejavnosti.
Če je nihalo v ravnotežnem položaju (visi navpično), ga uravnoteži natezna sila niti. Ploščato nihalo na neraztegljivi niti je sistem z dvema prostostnima stopnjama s sklopko. Ko spremenite samo eno komponento, se spremenijo lastnosti vseh njenih delov. Torej, če nit zamenjamo s palico, bo ta mehanski sistem imel samo 1 stopnjo svobode. Kakšne lastnosti ima matematično nihalo? V tem najpreprostejšem sistemu nastane kaos pod vplivom periodičnih motenj. V primeru, ko se točka vzmetenja ne premika, ampak niha, ima nihalo nov ravnotežni položaj. S hitrim nihanjem navzgor in navzdol ta mehanski sistem pridobi stabilen položaj "na glavo". Ima tudi svoje ime. Imenuje se Kapitsovo nihalo.
Lastnosti nihala
Matematično nihalo ima zelo zanimive lastnosti. Vse potrjujejo znani fizikalni zakoni. Obdobje nihanja katerega koli drugega nihala je odvisno od različnih okoliščin, kot so velikost in oblika telesa, razdalja med točko obešanja in težiščem ter porazdelitev mase glede na to točko. Zato je določitev dobe visenja telesa precej težka naloga. Veliko lažje je izračunati obdobje matematičnega nihala, katerega formula bo podana spodaj. Kot rezultat opazovanja podobnih mehanskih sistemov je mogoče ugotoviti naslednje vzorce:
Če ob enaki dolžini nihala obesimo različne uteži, bo obdobje njihovega nihanja enako, čeprav se bodo njihove mase zelo razlikovale. Posledično obdobje takega nihala ni odvisno od mase bremena.
Če se pri zagonu sistema nihalo odkloni pod ne prevelikimi, ampak različnimi koti, bo začelo nihati z enakim obdobjem, vendar z različnimi amplitudami. Dokler odstopanja od središča ravnovesja niso prevelika, bodo nihanja po obliki precej blizu harmoničnim. Perioda takega nihala ni v ničemer odvisna od nihajne amplitude. Ta lastnost danega mehanskega sistema se imenuje izohronizem (v prevodu iz grščine "chronos" - čas, "isos" - enak).
Perioda matematičnega nihala
Ta indikator predstavlja obdobje Kljub zapleteni formulaciji je sam proces zelo preprost. Če je dolžina niti matematičnega nihala L, pospešek prostega pada pa g, potem je ta vrednost enaka:
Perioda majhnih lastnih nihanj ni v ničemer odvisna od mase nihala in amplitude nihanj. V tem primeru se nihalo giblje kot matematično z določeno dolžino.
Nihanje matematičnega nihala
Matematično nihalo niha, kar lahko opišemo s preprosto diferencialno enačbo:
x + ω2 sin x = 0,
kjer je x (t) neznana funkcija (to je kot odstopanja od spodnjega ravnotežnega položaja v trenutku t, izražen v radianih); ω je pozitivna konstanta, ki jo določimo iz parametrov nihala (ω = √g/L, kjer je g gravitacijski pospešek, L pa dolžina matematičnega nihala (vzmetenja).
Enačba za majhne vibracije blizu ravnotežnega položaja (harmonična enačba) izgleda takole:
x + ω2 sin x = 0
Nihajna gibanja nihala
Matematično nihalo, ki dela majhne nihaje, se giblje vzdolž sinusoide. Diferencialna enačba drugega reda izpolnjuje vse zahteve in parametre takega gibanja. Za določitev trajektorije je potrebno nastaviti hitrost in koordinato, iz katerih se nato določijo neodvisne konstante:
x = A sin (θ 0 + ωt),
kjer je θ 0 začetna faza, A je amplituda nihanja, ω je ciklična frekvenca, določena iz enačbe gibanja.
Matematično nihalo (formule za velike amplitude)
Ta mehanski sistem, ki niha z veliko amplitudo, je podvržen bolj zapletenim zakonom gibanja. Za takšno nihalo se izračunajo po formuli:
sin x/2 = u * sn(ωt/u),
kjer je sn Jacobijev sinus, ki za u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:
u = (ε + ω2)/2ω2,
kjer je ε = E/mL2 (mL2 je energija nihala).
Obdobje nihanja nelinearnega nihala se določi po formuli:
kjer je Ω = π/2 * ω/2K(u), K eliptični integral, π - 3,14.
Gibanje nihala po separatrisi
Separatrix je tirnica dinamičnega sistema, ki ima dvodimenzionalni fazni prostor. Vzdolž njega se giblje matematično nihalo neperiodično. V neskončno oddaljenem trenutku pade z najvišjega položaja na stran z ničelno hitrostjo, nato pa jo postopoma pridobiva. Sčasoma se ustavi in se vrne v prvotni položaj.
Če se amplituda nihanja nihala približa številu π , to pomeni, da se gibanje na fazni ravnini približuje separatrisi. V tem primeru se mehanski sistem pod vplivom majhne pogonske periodične sile obnaša kaotično.
Ko matematično nihalo odstopi od ravnotežnega položaja za določen kot φ, nastane tangencialna gravitacijska sila Fτ = -mg sin φ. Predznak minus pomeni, da je ta tangencialna komponenta usmerjena v smeri, ki je nasprotna odklonu nihala. Če z x označimo premik nihala vzdolž krožnega loka s polmerom L, je njegov kotni premik enak φ = x/L. Drugi zakon, namenjen projekcijam in sili, bo dal želeno vrednost:
mg τ = Fτ = -mg sin x/L
Na podlagi tega razmerja je jasno, da je to nihalo nelinearen sistem, saj je sila, ki stremi k vrnitvi v ravnotežni položaj, vedno sorazmerna ne s premikom x, ampak s sin x/L.
Samo takrat, ko matematično nihalo izvaja majhna nihanja, je harmonični oscilator. Z drugimi besedami, postane mehanski sistem, ki je sposoben izvajati harmonična nihanja. Ta približek je praktično veljaven za kote 15-20°. Nihanja nihala z velikimi amplitudami niso harmonična.
Newtonov zakon za majhna nihanja nihala
Če dani mehanski sistem izvaja majhna nihanja, bo Newtonov 2. zakon videti takole:
mg τ = Fτ = -m* g/L* x.
Na podlagi tega lahko sklepamo, da je matematično nihalo sorazmerno s svojim premikom s predznakom minus. To je stanje, zaradi katerega sistem postane harmonični oscilator. Modul sorazmernega koeficienta med premikom in pospeškom je enak kvadratu krožne frekvence:
ω02 = g/l; ω0 = √ g/l.
Ta formula odraža lastno frekvenco majhnih nihanj te vrste nihala. Na podlagi tega,
T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.
Izračuni na podlagi zakona o ohranitvi energije
Lastnosti nihala lahko opišemo tudi z zakonom o ohranitvi energije. Upoštevati je treba, da je nihalo v gravitacijskem polju enako:
E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2
Skupaj je enak kinetičnemu ali največjemu potencialu: Epmax = Ekmsx = E
Ko je zakon o ohranitvi energije napisan, vzemite odvod desne in leve strani enačbe:
Ker je odvod konstantnih količin enak 0, potem je (Ep + Ek)" = 0. Odvod vsote je enak vsoti odvodov:
Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" = mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,
torej:
Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.
Na podlagi zadnje formule ugotovimo: α = - g/L*x.
Praktična uporaba matematičnega nihala
Pospešek se spreminja glede na zemljepisno širino, ker gostota zemeljske skorje ni enaka po vsem planetu. Tam, kjer se pojavljajo kamnine z večjo gostoto, bo nekoliko višja. Pospešek matematičnega nihala se pogosto uporablja za geološka raziskovanja. Uporablja se za iskanje različnih mineralov. Preprosto s štetjem števila nihanj nihala lahko odkrijete premog ali rudo v črevesju Zemlje. To je posledica dejstva, da imajo takšni fosili večjo gostoto in maso od spodaj ležečih kamnin.
Matematično nihalo so uporabljali tako izjemni znanstveniki, kot so Sokrat, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimed. Mnogi od njih so verjeli, da lahko ta mehanski sistem vpliva na usodo in življenje osebe. Arhimed je pri svojih izračunih uporabil matematično nihalo. Dandanes mnogi okultisti in jasnovidci uporabljajo ta mehanični sistem za izpolnjevanje svojih prerokb ali iskanje pogrešanih ljudi.
Znani francoski astronom in naravoslovec K. Flammarion je za svoje raziskave uporabljal tudi matematično nihalo. Trdil je, da je z njegovo pomočjo lahko napovedal odkritje novega planeta, pojav Tunguškega meteorita in druge pomembne dogodke. Med drugo svetovno vojno je v Nemčiji (Berlin) deloval specializiran Inštitut za nihalo. Danes se s podobnimi raziskavami ukvarja Münchenski inštitut za parapsihologijo. Zaposleni v tej ustanovi svoje delo z nihalom imenujejo »radiestezija«.
Opredelitev
Matematično nihalo- to je nihajni sistem, ki je poseben primer fizičnega nihala, katerega celotna masa je skoncentrirana v eni točki, v središču mase nihala.
Običajno je matematično nihalo predstavljeno kot krogla, obešena na dolgi breztežni in neraztegljivi niti. To je idealiziran sistem, ki izvaja harmonična nihanja pod vplivom gravitacije. Dober približek matematičnega nihala je ogromna majhna kroglica, ki niha na tanki dolgi niti.
Galileo je bil prvi, ki je proučeval lastnosti matematičnega nihala s preučevanjem nihanja lestenca na dolgi verigi. Ugotovil je, da nihajna doba matematičnega nihala ni odvisna od amplitude. Če pri zagonu nihala odklonite pod različnimi majhnimi koti, se bodo njegova nihanja pojavila z enako periodo, vendar z različnimi amplitudami. Ta lastnost se imenuje izohronizem.
Enačba gibanja matematičnega nihala
Matematično nihalo je klasičen primer harmoničnega oscilatorja. Izvaja harmonična nihanja, ki jih opisuje diferencialna enačba:
\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \levo(1\desno),\]
kjer je $\varphi $ kot odstopanja niti (obesitve) od ravnotežnega položaja.
Rešitev enačbe (1) je funkcija $\varphi (t):$
\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega )_0t+\alpha \desno)\levo(2\desno),\ )\]
kjer je $\alpha $ začetna faza nihanj; $(\varphi )_0$ - amplituda nihanj; $(\omega )_0$ - ciklična frekvenca.
Nihanja harmoničnega oscilatorja so pomemben primer periodičnega gibanja. Oscilator služi kot model pri številnih problemih klasične in kvantne mehanike.
Ciklična frekvenca in nihajna doba matematičnega nihala
Ciklična frekvenca matematičnega nihala je odvisna samo od dolžine njegovega vzmetenja:
\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\levo(3\desno).\]
Nihajna doba matematičnega nihala ($T$) je v tem primeru enaka:
Izraz (4) kaže, da je perioda matematičnega nihala odvisna le od dolžine njegovega obešanja (razdalje od točke obešanja do težišča bremena) in gravitacijskega pospeška.
Energijska enačba za matematično nihalo
Pri obravnavanju nihanj mehanskih sistemov z eno prostostno stopnjo pogosto za izhodišče ne vzamejo Newtonovih enačb gibanja, temveč energijsko enačbo. Ker jo je lažje sestaviti in je enačba prvega reda v času. Predpostavimo, da v sistemu ni trenja. Zakon o ohranitvi energije za matematično nihalo, ki izvaja prosta nihanja (majhna nihanja), zapišemo kot:
kjer je $E_k$ kinetična energija nihala; $E_p$ je potencialna energija nihala; $v$ je hitrost nihala; $x$ je linearni premik uteži nihala iz ravnotežnega položaja vzdolž krožnega loka s polmerom $l$, medtem ko je kotni premik povezan z $x$ kot:
\[\varphi =\frac(x)(l)\levo(6\desno).\]
Največja vrednost potencialne energije matematičnega nihala je:
Največja vrednost kinetične energije:
kjer je $h_m$ največja višina nihala; $x_m$ največji odklon nihala od ravnotežnega položaja; $v_m=(\omega )_0x_m$ - največja hitrost.
Primeri problemov z rešitvami
Primer 1
telovadba. Kolikšna je največja višina dviga krogle matematičnega nihala, če je bila njegova hitrost gibanja pri prehodu skozi ravnotežni položaj $v$?
rešitev. Naredimo risbo.
Naj bo potencialna energija žogice v ravnotežnem položaju (točka 0) enaka nič, v tej točki je hitrost žogice največja in je glede na pogoje problema enaka $v$. V točki največjega dviga žogice nad ravnotežno lego (točka A) je hitrost žogice enaka nič, potencialna energija je največja. Zapišimo zakon ohranitve energije za obravnavana dva položaja žogice:
\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \levo(1,1\desno).\]
Iz enačbe (1.1) najdemo zahtevano višino:
Odgovori.$h=\frac(v^2)(2g)$
Primer 2
telovadba. Kolikšen je gravitacijski pospešek, če matematično nihalo z dolžino $l=1\ m$ niha s periodo, ki je enaka $T=2\ s$? Nihanja matematičnega nihala naj bodo majhna.\textit()
rešitev. Kot osnovo za rešitev problema vzamemo formulo za izračun obdobja majhnih nihanj:
Izrazimo pospešek iz tega:
Izračunajmo gravitacijski pospešek:
Odgovori.$g=9,87\ \frac(m)(s^2)$
Matematično nihalo imenovano majhno telo, obešeno na tanko neraztegljivo nit, katere masa je v primerjavi z maso telesa zanemarljiva. V ravnotežnem položaju, ko nihalo visi navpično, se sila težnosti uravnoteži z natezno silo niti.Ko se nihalo odkloni od ravnotežnega položaja za določen kot φ, se pojavi tangencialna komponenta sile težnosti. F τ = - mg sin φ (slika 2.3.1). Znak minus v tej formuli pomeni, da je tangencialna komponenta usmerjena v smeri, ki je nasprotna odklonu nihala.
Če označimo z x linearni premik nihala iz ravnotežnega položaja vzdolž loka kroga polmera l, potem bo njegov kotni premik enak φ = x / l. Newtonov drugi zakon, zapisan za projekcije vektorjev pospeška in sile na smer tangente, daje:
To razmerje kaže, da je matematično nihalo kompleks nelinearno sistem, saj sila, ki teži k vrnitvi nihala v ravnotežni položaj, ni sorazmerna s premikom x, A
Samo v primerumajhna nihanja , ko približnose lahko nadomesti zmatematično nihalo je harmonični oscilator, tj. sistem, ki lahko izvaja harmonična nihanja. V praksi ta približek velja za kote reda 15-20°; v tem primeru se vrednost razlikuje od največ 2 %. Nihanja nihala pri velikih amplitudah niso harmonična.
Za majhna nihanja matematičnega nihala je Newtonov drugi zakon zapisan v obliki
Torej tangencialni pospešek aτ nihala je sorazmeren z njegovim premikom x, vzeto z nasprotnim predznakom. Ravno to je pogoj, pod katerim je sistem harmonični oscilator. Po splošnem pravilu je za vse sisteme, ki lahko izvajajo prosta harmonična nihanja, modul sorazmernega koeficienta med pospeškom in odmikom iz ravnotežnega položaja enak kvadratu krožne frekvence:
Ta formula izraža lastna frekvenca majhnih nihanj matematičnega nihala .
torej
Vsako telo, nameščeno na vodoravni vrtilni osi, lahko prosto niha v gravitacijskem polju in je zato tudi nihalo. Takšno nihalo običajno imenujemo fizično (slika 2.3.2). Od matematičnega se razlikuje le po porazdelitvi mas. V stabilnem ravnotežnem položaju je središče mase C fizično nihalo se nahaja pod vrtilno osjo O na navpičnici, ki poteka skozi os. Ko se nihalo odkloni za kot φ, nastane gravitacijski moment, ki teži k vrnitvi nihala v ravnotežni položaj:
|
M = -(mg sinφ) d. |
Tukaj d- razdalja med vrtilno osjo in masnim središčem C.
|
|
|
Slika 2.3.2. Fizikalno nihalo |
Znak minus v tej formuli, kot običajno, pomeni, da moment sile teži k vrtenju nihala v nasprotni smeri njegovega odstopanja od ravnotežnega položaja. Kot v primeru matematičnega nihala, povratni moment M sorazmerno To pomeni, da je fizično nihalo sposobno izvajati prosta harmonična nihanja le pri majhnih kotih. V primeru manjših nihanj
in drugi Newtonov zakon za fizično nihalo ima obliko
kjer je ε kotni pospešek nihala, jaz- vztrajnostni moment nihala glede na vrtilno os O. Modul sorazmernega koeficienta med pospeškom in premikom je enak kvadratu krožne frekvence:
Tukaj ω 0 - lastna frekvenca majhnih nihanj fizičnega nihala .
torej
Strožja izpeljava formul za ω 0 in T lahko izvedemo, če upoštevamo matematično razmerje med kotnim pospeškom in kotnim premikom: kotni pospešek ε je drugi odvod kotnega premika φ glede na čas:
Zato lahko enačbo, ki izraža drugi Newtonov zakon za fizično nihalo, zapišemo v obliki
To je enačba prostih harmoničnih nihanj.
Koeficient v tej enačbi ima pomen kvadrata krožne frekvence prostih harmoničnih nihanj fizičnega nihala.
V skladu z izrekom o vzporednem prenosu osi vrtenja (Steinerjev izrek) je vztrajnostni moment jaz lahko izrazimo z vztrajnostnim momentom jazC glede na os, ki poteka skozi masno središče C nihalo in vzporedna os vrtenja:
Končno za krožno frekvenco ω 0 prostih nihanj fizikalnega nihala dobimo naslednji izraz:
Zposnetek zaslonaiskanjeo definicijitoplaneti
Osnovni pojmi: dušena nihanja, prosta nihanja, nedušena nihanja, prisilna nihanja, lastna nihanja.
Celotna mehanska energija nihala E je vsota njegove potencialne E p = mgh in kinetične E k = mυ 2 /2 energije:
E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2. (1)
Slika 1 shematično prikazuje pretvorbo potencialne energije matematičnega nihala v kinetično energijo in obratno.
Slika 1. Transformacija energije med nihanjem matematičnega nihala.
Ko je nihalo v t.A (točka, kjer je največji odmik nihala od ravnotežnega položaja), je njegova kinetična energija enaka najmanjši možni vrednosti - nič - E k min = 0, potencialna energija pa največja in enako E p max = mgh max. Tako je skupna mehanska energija nihala v t.A v skladu z (1) enaka:
V točki A: E = E p max + E k min = mgh max + 0 = mgh max.
Ko je nihalo na kateri koli vmesni točki med točkama A (točka, kjer je največji odmik nihala od ravnotežnega položaja) in O (ravnotežni položaj), je njegova skupna mehanska energija E v skladu z (1) enaka :
Na vmesnih točkah: E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2,
E p in E k zavzameta nekaj vmesnih vrednosti, večjih od 0 in manjših od največje vrednosti: E p = mgh< mgh max , Е к = mυ 2 /2 < mυ max 2 /2.
Ko nihalo prečka točko O (ravnotežni položaj), je njegova kinetična energija največja in enaka E k max = mυ max 2 /2, potencialna energija pa sedaj prevzame ničelno vrednost E p = 0:
V točki O: E = E p min + E k max = 0 + mυ max 2 /2.
Tako je mogoče ustvariti verigo transformacij ene vrste energije v drugo, ko se matematično nihalo premakne iz ene točke v drugo (slika 1):
točka A -- točka N -- točka O -- točka M -- točka B --.....
E p max -- E p + E k -- E k max -- E' p + E' k -- E p max -- .....
E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2 = E k max = mυ max 2 /2 = E p max = mgh max (2)
Pri vzmetnem nihalu (slika 2) poteka pretvorba energije na podoben način.
riž. 3. Samonihajni sistem.
Pojdi na naslednjo lekcijo 34: Širjenje nihanj v mediju. Valovi.
Pojdi na zapiske za 9. razred.
