Ekstremne funkcije
Opredelitev 2
Točka $ x_0 $ se imenuje najvišja točka funkcije $ f (x) $, če obstaja soseska te točke, tako da neenakost $ f (x) \ le f (x_0) $ velja za vse $ x $ iz to sosesko.
Opredelitev 3
Točka $ x_0 $ se imenuje najvišja točka funkcije $ f (x) $, če obstaja soseska te točke, tako da neenakost $ f (x) \ ge f (x_0) $ velja za vse $ x $ iz to sosesko.
Koncept ekstrema funkcije je tesno povezan s pojmom kritične točke funkcije. Predstavimo njegovo definicijo.
Opredelitev 4
$ x_0 $ se imenuje kritična točka funkcije $ f (x) $, če:
1) $ x_0 $ - notranja točka domene definicije;
2) $ f "\ left (x_0 \ right) = 0 $ ali ne obstaja.
Za koncept ekstrema lahko oblikujemo izreke o zadostnih in nujnih pogojih za njegov obstoj.
Izrek 2
Zadostno ekstremno stanje
Naj bo točka $ x_0 $ kritična za funkcijo $ y = f (x) $ in leži v intervalu $ (a, b) $. Naj izpeljanka $ f "(x) $ obstaja na vsakem intervalu $ \ left (a, x_0 \ right) \ in \ (x_0, b) $. Nato:
1) Če je na intervalu $ (a, x_0) $ izpeljanka $ f "\ levo (x \ desno)> 0 $, na intervalu $ (x_0, b) $ pa derivat $ f" \ levo (x \ prav)
2) Če je na intervalu $ (a, x_0) $ izpeljanka $ f "\ left (x \ right) 0 $, potem je točka $ x_0 $ najnižja točka te funkcije.
3) Če sta tako na intervalu $ (a, x_0) $ kot na intervalu $ (x_0, b) $ izpeljani $ f "\ levo (x \ desno)> 0 $ ali izpeljani $ f" \ left (x \ prav)
Ta izrek je ponazorjen na sliki 1.
Slika 1. Zadosten pogoj za obstoj ekstremov
Primeri ekstremov (slika 2).
Slika 2. Primeri ekstremnih točk
Pravilo raziskovanja funkcije za ekstrem
2) Poiščite izpeljanko $ f "(x) $;
7) S pomočjo izreka 2 naredite zaključke o prisotnosti maksimumov in minimumov v vsakem intervalu.
Naraščajoče in padajoče funkcije
Naj za začetek predstavimo definicije naraščajočih in padajočih funkcij.
Opredelitev 5
Funkcijo $ y = f (x) $, definirano na intervalu $ X $, imenujemo naraščajoča, če za katere koli točke $ x_1, x_2 \ in X $ pri $ x_1
Opredelitev 6
Funkcija $ y = f (x) $, definirana na intervalu $ X $, se imenuje padajoča, če je za katero koli točko $ x_1, x_2 \ in X $ kot $ x_1f (x_2) $.
Preiskava funkcije povečevanja in zmanjševanja
Z izvedenico lahko raziščete funkcije za povečanje in zmanjšanje.
Za raziskovanje funkcije v intervalih povečevanja in zmanjševanja je potrebno narediti naslednje:
1) Poiščite domeno funkcije $ f (x) $;
2) Poiščite izpeljanko $ f "(x) $;
3) Poiščite točke, pri katerih je enakost $ f "\ left (x \ right) = 0 $ res;
4) Poiščite točke, kjer $ f "(x) $ ne obstaja;
5) Na koordinatni črti označite vse najdene točke in domeno te funkcije;
6) Določite predznak izpeljanega $ f "(x) $ na vsakem nastalem intervalu;
7) Naredite zaključek: v intervalih, kjer se $ f "\ levo (x \ desno) 0 $ funkcija poveča.
Primeri nalog za preučevanje funkcij za povečanje, zmanjševanje in prisotnost skrajnih točk
Primer 1
Preglejte funkcijo povečevanja in zmanjševanja ter prisotnost največje in minimalne točke: $ f (x) = (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $
Ker je prvih 6 točk enakih, začnimo z njimi.
1) Področje opredelitve - vsa realna števila;
2) $ f "\ levo (x \ desno) = 6x ^ 2-30x + 36 $;
3) $ f "\ levo (x \ desno) = 0 $;
\ \ \
4) $ f "(x) $ obstaja na vseh točkah domene;
5) Koordinatna črta:
Slika 3.
6) Določite predznak izpeljanega $ f "(x) $ v vsakem intervalu:
\ \}
