Matematično nihalo je materialna točka, ki visi na breztežnostni in neraztegljivi niti, ki se nahaja v gravitacijskem polju Zemlje. Matematično nihalo je idealiziran model, ki pravilno opiše pravo nihalo le pod določenimi pogoji. Pravo nihalo se lahko šteje za matematično, če je dolžina niti veliko večja od velikosti telesa, ki visi na njej, masa niti je zanemarljiva v primerjavi z maso telesa in so deformacije niti tako majhne da jih je mogoče povsem zanemariti.
Nihajni sistem v tem primeru tvorijo nit, nanjo pritrjeno telo in Zemlja, brez katere ta sistem ne bi mogel služiti kot nihalo.
Kje A X – pospešek, g - gravitacijski pospešek, X- premik, l– dolžina niti nihala.
Ta enačba se imenuje enačba prostih nihanj matematičnega nihala. Pravilno opisuje zadevne vibracije le, če so izpolnjene naslednje predpostavke:
2) upoštevana so le majhna nihanja nihala z majhnim kotom nihanja.
Proste vibracije katerega koli sistema so v vseh primerih opisane s podobnimi enačbami.
Vzroki za prosta nihanja matematičnega nihala so:
1. Delovanje napetosti in gravitacije na nihalo, ki preprečuje, da bi se premaknilo iz ravnotežnega položaja in ga prisili, da ponovno pade.
2. Vztrajnost nihala, zaradi katere se ob ohranjanju hitrosti ne ustavi v ravnotežnem položaju, ampak gre skozi njega naprej.
Perioda prostih nihanj matematičnega nihala
Perioda prostega nihanja matematičnega nihala ni odvisna od njegove mase, ampak je določena le z dolžino niti in gravitacijskim pospeškom na mestu, kjer se nahaja nihalo.
Pretvorba energije med harmoničnimi nihanji
Pri harmoničnem nihanju vzmetnega nihala se potencialna energija elastično deformiranega telesa pretvori v njegovo kinetično energijo, kjer k – koeficient elastičnosti, X - modul odmika nihala iz ravnotežnega položaja, m- masa nihala, v- njegova hitrost. V skladu z enačbo harmoničnih vibracij:
,
.
Skupna energija vzmetnega nihala:
.
Skupna energija za matematično nihalo:
V primeru matematičnega nihala
Transformacije energije med nihanjem vzmetnega nihala potekajo v skladu z zakonom o ohranitvi mehanske energije ( 
). Ko se nihalo premakne navzdol ali navzgor iz ravnotežnega položaja, se njegova potencialna energija poveča, kinetična energija pa zmanjša. Ko nihalo prečka ravnotežni položaj ( X= 0), je njegova potencialna energija enaka nič, kinetična energija nihala pa ima največjo vrednost, ki je enaka njegovi celotni energiji.
Tako se v procesu prostih nihanj nihala njegova potencialna energija spremeni v kinetično, kinetična v potencialno, potencialna nato spet v kinetično itd. Celotna mehanska energija pa ostane nespremenjena.
Prisilne vibracije. Resonanca.
Imenujejo se nihanja, ki nastanejo pod vplivom zunanje periodične sile prisilna nihanja. Zunanja periodična sila, imenovana gonilna sila, daje oscilacijskemu sistemu dodatno energijo, ki se porabi za dopolnitev izgub energije, ki nastanejo zaradi trenja. Če se gonilna sila skozi čas spreminja po zakonu sinusa ali kosinusa, bodo prisilna nihanja harmonična in nedušena.
Za razliko od prostih nihanj, ko sistem prejme energijo samo enkrat (ko je sistem spravljen iz ravnovesja), pri prisilnih nihanjih sistem to energijo neprekinjeno absorbira iz vira zunanje periodične sile. Ta energija nadomesti izgube, porabljene za premagovanje trenja, zato skupna energija nihajnega sistema ostane nespremenjena.
Frekvenca prisilnih nihanj je enaka frekvenci pogonske sile. V primeru, da frekvenca pogonske sile υ sovpada z lastno frekvenco nihajnega sistema υ 0 , močno se poveča amplituda prisilnih nihanj - resonanca. Resonanca nastane zaradi tega, ko υ = υ 0 zunanja sila, ki deluje sočasno s prostimi nihaji, je vedno usklajena s hitrostjo nihajnega telesa in opravlja pozitivno delo: energija nihajnega telesa se poveča, amplituda njegovih nihanj pa postane velika. Graf amplitude prisilnih nihanj A T na frekvenco pogonske sile υ prikazan na sliki, se ta graf imenuje resonančna krivulja:
Pojav resonance ima pomembno vlogo v številnih naravnih, znanstvenih in industrijskih procesih. Na primer, pojav resonance je treba upoštevati pri načrtovanju mostov, zgradb in drugih struktur, ki doživljajo vibracije pod obremenitvijo, sicer se lahko pod določenimi pogoji te strukture uničijo.
Majhna kroglica, obešena na lahki, neraztegljivi niti, je sposobna prost nihajno gibanje (slika 598).
riž. 598
Za opis gibanja nihala bomo kroglico imeli za materialno točko in zanemarili maso niti in zračni upor. Ta model se imenuje matematično nihalo.
Kot koordinato, ki opisuje položaj krogle, izberemo kot odstopanja niti od navpičnice. φ
. Za opis spremembe te koordinate je priročno uporabiti enačbo dinamike rotacijskega gibanja 
Kje J = ml 2− vztrajnostni moment sistema, ε = Δω/Δt− kotni pospešek telesa (drugi odvod rotacijskega kota), M− skupni moment zunanjih sil, ki delujejo na sistem 1. Na kroglico deluje gravitacija mg in napetost niti. Trenutek napetosti niti n glede na točko vzmetenja je nič, zato ima enačba (1) za visečo kroglo obliko
oz 
Ta enačba opisuje nihanje nihala, ni pa enačba harmoničnih nihanj, saj je moment sile sorazmeren s sinusom odklonskega kota in ne s samim kotom. Če pa menimo, da so odklonski koti majhni (koliko je to, bomo izvedeli kasneje), lahko uporabimo približno formulo sinφ ≈ φ v tem približku se enačba (3) spremeni v znano enačbo harmoničnih nihanj 
Kje Ω = √(g/l)− krožna frekvenca majhnih nihanj nihala 2. Rešitev te enačbe smo že zapisali
Tukaj φ o− največji odklon niti, to je amplituda nihanj. Zaradi poenostavitve bomo predpostavili, da je začetna hitrost žoge enaka nič.
Perioda majhnih nihanj nihala je izražena s krožno frekvenco 
Ker so majhni nihaji matematičnega nihala harmonični, njihova perioda ni odvisna od amplitude. To dejstvo je eksperimentalno opazil G. Galileo. Pri velikih odklonskih kotih se obdobje nihanja matematičnega nihala rahlo poveča.
Upoštevajte, da tudi obdobje nihanja matematičnega nihala ni odvisno od mase krogle - ne pozabite, pospešek prostega pada, pa tudi druge značilnosti gibanja telesa v gravitacijskem polju Zemlje, prav tako niso odvisne. na maso telesa (če seveda zanemarimo zračni upor).
Formula (6) se lahko uporablja in se uporablja za eksperimentalno določanje gravitacijskega pospeška. Dolžino niti in periodo nihanja je precej preprosto eksperimentalno izmeriti, nato pa lahko s formulo (6) izračunamo pospešek prostega pada.
Poskusimo opisati gibanje matematičnega nihala z uporabo zakona o ohranitvi mehanske energije. Kinetično energijo žoge izrazimo s formulo 
Ničelna raven referenčne potencialne energije je združljiva s točko obešanja niti, potem je potencialna energija krogle enaka 
Enačba zakona o ohranitvi mehanske energije (ob upoštevanju začetnih pogojev) ima obliko 
Ta enačba tudi ni enačba harmoničnih nihanja. Ampak, če spet menimo, da so koti odklona nihala majhni in uporabimo približno formulo 
potem se bo enačba (7) spremenila v enačbo harmoničnih nihanj 
oz 
kjer je navedeno Ω = √(g/l)− krožna frekvenca nihanj, ki sovpada s tisto, ki jo dobimo iz dinamične enačbe (2).
To naključje seveda ni naključno – pravzaprav smo pri obeh pristopih uporabili isti približek majhnih odklonskih kotov.
1 Načeloma je možno uporabiti enačbe dinamike translacijskega gibanja, vendar je tukaj uporabljeni pristop boljši, saj je trajektorija gibanja točke krožni lok.
2 Za lastno frekvenco majhnih nihanj smo izbrali oznako Ω (tudi to je »omega«, le z veliko začetnico), tako da tradicionalno oznako ω − pustimo za kotno hitrostjo krogle, ki se bo v nadaljevanju pojavljala v našem sklepanju.
Matematično nihalo imenovano majhno telo, obešeno na tanko neraztegljivo nit, katere masa je v primerjavi z maso telesa zanemarljiva. V ravnotežnem položaju, ko nihalo visi, se sila težnosti uravnoteži z natezno silo niti. Ko se nihalo odkloni od ravnotežnega položaja za določen kot φ, se pojavi tangencialna komponenta sile težnosti. F τ = - mg sin φ (slika 2.3.1). Znak minus v tej formuli pomeni, da je tangencialna komponenta usmerjena v smeri, ki je nasprotna odklonu nihala.
Če označimo z x linearni premik nihala iz ravnotežnega položaja vzdolž loka kroga polmera l, potem bo njegov kotni premik enak φ = x / l. Newtonov drugi zakon, zapisan za projekcije vektorjev pospeška in sile na smer tangente, daje:
To razmerje kaže, da je matematično nihalo kompleks nelinearno sistem, saj sila, ki teži k vrnitvi nihala v ravnotežni položaj, ni sorazmerna s premikom x, A
Samo v primerumajhna nihanja , ko približnose lahko nadomesti zmatematično nihalo je harmonični oscilator, tj. sistem, ki lahko izvaja harmonična nihanja. V praksi ta približek velja za kote reda 15-20°; v tem primeru se vrednost razlikuje od največ 2 %. Nihanja nihala pri velikih amplitudah niso harmonična.
Za majhna nihanja matematičnega nihala je Newtonov drugi zakon zapisan v obliki
Torej tangencialni pospešek aτ nihala je sorazmeren z njegovim premikom x, vzeto z nasprotnim predznakom. Ravno to je pogoj, pod katerim je sistem harmonični oscilator. Po splošnem pravilu je za vse sisteme, ki lahko izvajajo prosta harmonična nihanja, modul sorazmernega koeficienta med pospeškom in odmikom iz ravnotežnega položaja enak kvadratu krožne frekvence:
Ta formula izraža lastna frekvenca majhnih nihanj matematičnega nihala .
torej
Vsako telo, nameščeno na vodoravni vrtilni osi, lahko prosto niha v gravitacijskem polju in je zato tudi nihalo. Takšno nihalo običajno imenujemo fizično (slika 2.3.2). Od matematičnega se razlikuje le po porazdelitvi mas. V stabilnem ravnotežnem položaju je središče mase C fizično nihalo se nahaja pod vrtilno osjo O na navpičnici, ki poteka skozi os. Ko se nihalo odkloni za kot φ, nastane gravitacijski moment, ki želi vrniti nihalo v ravnotežni položaj:
|
M = -(mg sinφ) d. |
Tukaj d- razdalja med vrtilno osjo in masnim središčem C.
|
|
|
Slika 2.3.2. Fizikalno nihalo |
Znak minus v tej formuli, kot običajno, pomeni, da moment sile teži k vrtenju nihala v nasprotni smeri njegovega odstopanja od ravnotežnega položaja. Kot v primeru matematičnega nihala, povratni moment M sorazmerno To pomeni, da je fizično nihalo sposobno izvajati prosta harmonična nihanja le pri majhnih kotih. V primeru manjših nihanj
in drugi Newtonov zakon za fizično nihalo ima obliko
kjer je ε kotni pospešek nihala, jaz- vztrajnostni moment nihala glede na vrtilno os O. Modul sorazmernega koeficienta med pospeškom in premikom je enak kvadratu krožne frekvence:
Tukaj ω 0 - lastna frekvenca majhnih nihanj fizičnega nihala .
torej
Strožja izpeljava formul za ω 0 in T lahko izvedemo, če upoštevamo matematično razmerje med kotnim pospeškom in kotnim premikom: kotni pospešek ε je drugi odvod kotnega premika φ glede na čas:
Zato lahko enačbo, ki izraža drugi Newtonov zakon za fizično nihalo, zapišemo v obliki
To je enačba prostih harmoničnih nihanj.
Koeficient v tej enačbi ima pomen kvadrata krožne frekvence prostih harmoničnih nihanj fizičnega nihala.
V skladu z izrekom o vzporednem prenosu osi vrtenja (Steinerjev izrek) je vztrajnostni moment jaz lahko izrazimo z vztrajnostnim momentom jazC glede na os, ki poteka skozi masno središče C nihalo in vzporedna os vrtenja:
Končno za krožno frekvenco ω 0 prostih nihanj fizikalnega nihala dobimo naslednji izraz:
Zposnetek zaslonaiskanjeo definicijitoplaneti
Osnovni pojmi: dušena nihanja, prosta nihanja, nedušena nihanja, prisilna nihanja, lastna nihanja.
Celotna mehanska energija nihala E je vsota njegove potencialne E p = mgh in kinetične E k = mυ 2 /2 energije:
E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2. (1)
Slika 1 shematično prikazuje pretvorbo potencialne energije matematičnega nihala v kinetično energijo in obratno.
Slika 1. Transformacija energije med nihanjem matematičnega nihala.
Ko je nihalo v t.A (točka, kjer je največji odmik nihala od ravnotežnega položaja), je njegova kinetična energija enaka najmanjši možni vrednosti - nič - E k min = 0, potencialna energija pa največja in enako E p max = mgh max. Tako je skupna mehanska energija nihala v t.A v skladu z (1) enaka:
V točki A: E = E p max + E k min = mgh max + 0 = mgh max.
Ko je nihalo na kateri koli vmesni točki med točkama A (točka, kjer je največji odmik nihala od ravnotežnega položaja) in O (ravnotežni položaj), je njegova skupna mehanska energija E v skladu s (1) enaka :
Na vmesnih točkah: E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2,
E p in E k zavzameta nekaj vmesnih vrednosti, večjih od 0 in manjših od največje vrednosti: E p = mgh< mgh max , Е к = mυ 2 /2 < mυ max 2 /2.
Ko nihalo prečka točko O (ravnotežni položaj), je njegova kinetična energija največja in enaka E k max = mυ max 2 /2, potencialna energija pa sedaj prevzame ničelno vrednost E p = 0:
V točki O: E = E p min + E k max = 0 + mυ max 2 /2.
Tako je mogoče ustvariti verigo transformacij ene vrste energije v drugo, ko se matematično nihalo premakne iz ene točke v drugo (slika 1):
točka A -- točka N -- točka O -- točka M -- točka B --.....
E p max -- E p + E k -- E k max -- E' p + E' k -- E p max -- .....
E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2 = E k max = mυ max 2 /2 = E p max = mgh max (2)
Pri vzmetnem nihalu (slika 2) poteka pretvorba energije na podoben način.
riž. 3. Samonihajni sistem.
Pojdite na naslednjo lekcijo 34: Širjenje nihanj v mediju. Valovi.
Pojdi na zapiske za 9. razred.
NAMEN: eksperimentalno preveriti zakon o ohranitvi energije translacijsko-rotacijskega gibanja na Maxwellovem nihalu; določi hitrost translatornega gibanja nihala z energijskimi in kinematskimi razmerji ter ju primerja.
OPREMA: Maxwellovo nihalo z zamenljivimi obroči; elektronska štoparica.
OSNOVE TEORIJE
Najbolj splošno merilo gibanja snovi je njena energija. V mehaniki je mehanska energija, ki ustreza mehanskemu gibanju teles. Obstajata dve vrsti mehanske energije: kinetična in potencialna.
Potencialna energija. Energija definirana relativni položaj medsebojno delujočih teles in odvisno le od koordinat imenujemo potencial. delo A 12 , ki jo izvajajo konservativne sile pri prenosu sistema iz enega stanja v drugo, je enaka izgubi potencialne energije v teh stanjih .
A 12 = W 1 - W 2, (1)
Kje W 1 in W 2 oziroma potencialna energija sistema v stanjih 1 in 2.
Posebna vrsta potencialne energije je odvisna od narave polja sile. V polju gravitacije potencialna energija telesa z maso m ima obliko:
W = m g h, (2)
Kje g pospešitev prostega pada;
h višina, merjena od ravni, kjer je potencialna energija W=0.
Kinetična energija. To je energija, ki jo ima telo (ali sistem teles) zaradi svojega gibanja. Če se telo premika naprej s hitrostjo v in se hkrati vrti okoli določene osi s kotno hitrostjo , potem je skupna kinetična energija njegovega gibanja enaka:
Kje m-telesna teža;
jazvztrajnostni moment.
Kot lahko vidite, med rotacijskim gibanjem vlogo linearne hitrosti igra kotna hitrost, vlogo mase pa vztrajnostni moment. Zagon jaz ni odvisna le od mase, ampak tudi od porazdelitve te mase glede na vrtilno os. Pomen jaz za nekatera telesa pravilne geometrijske oblike (dolga palica, disk, krogla, valj) so navedena v učbenikih tečaja splošne fizike.
Zakon o ohranjanju energije. Mehanska energija zaprtega sistema teles, med katerimi delujejo konservativne sile, ostaja konstantna. V takšnih sistemih se pri gibanju telesa kinetična energija pretvarja v potencialno in obratno, skupna energija pa ostaja konstantna. (Konzervativne sile vključujejo gravitacijske, elastične, Coulombove itd.. Nekonzervativne sile so sile trenja, upora, neelastični deformacije.).
Mehanska energija se ohranja tudi v odprtih sistemih, če zunanje sile ne opravljajo dela, saj je merilo energije opravljeno delo.
EKSPERIMENTALNI POSTOPEK
Zakon o ohranitvi energije za translacijsko-rotacijsko gibanje telesa preverimo z Maxwellovim nihalom. Maxwellovo nihalo je disk, nameščen na osi. Os pa je obešena na dveh nitih, pritrjenih na zgornjih koncih na nosilce.
Te niti se lahko navijejo okoli osi, ko se odvijejo, pa nihalo naredi translacijsko-rotacijsko gibanje, tj. dviga in pada, vrti se.
Med poskusom sta bili identificirani dve glavni stanji. V stanju 1 nihala mase m je na vrhu h. Mehanska energija sistema v tem stanju je enaka le potencialni energiji:
E 1 = W 1 = m g h. (4)
Spustimo nihalo. Pod delovanjem rezultantnih sil gravitacije in napetosti niti začne padati navzdol (gibanje naprej), natezne sile niti pa ga bodo vodile v rotacijsko gibanje.
riž. 1. Splošni pogled na Maxwellovo nihalo.
T- sila napetosti niti; F g - gravitacija.
V stanju 2 se je nihalo spustilo z višine h, se premika naprej s hitrostjo v, ki se s kotno hitrostjo vrti okoli osi, ki poteka skozi središče mase Zato je mehanska energija sistema v stanju 2 sestavljena iz kinetičnih energij translacijskega in rotacijskega gibanja:
. (5)
V izbranem sistemu (nihalo v gravitacijskem polju) mora biti izpolnjen zakon o ohranitvi energije. Gravitacija je konzervativna sila. Napetost niti je zunanja sila. vendar ne deluje, ker njegova točka uporabe ostane na mestu med majhnim vrtenjem nihala. Zato:
.
(6)
Hitrost translacijskega gibanja nihala je povezana s kotno hitrostjo z razmerjem
v = ·r, (7)
Kje rpolmer osi nihala.
Potem bo formula (6) dobila obliko:
2gh = v 2 (1+I/mr 2). (8)
In hitrost translacijskega gibanja nihala ima naslednji pomen:
.
(9)
Za preverjanje zakona o ohranitvi energije izračunajmo hitrost na drug neodvisen način z uporabo znanih kinematičnih razmerij. Ker je gibanje nihala enakomerno pospešeno, potem če med padanjem t nihalo je opravilo svojo pot h, njegov pospešek je
a = 2h / t 2 . (10)
Od tod hitrost translacijskega gibanja nihala na koncu poti:
v = a t = 2h/t. (enajst)
Hitrost v (9) je odvisna od vztrajnostnega momenta nihala, ki ga lahko spreminjamo z namestitvijo različnih obročev na disk. Vztrajnostni moment nihala je definiran kot
I = I 0 + I D + I K. (12)
Kje jaz 0 - vztrajnostni moment osi,
- vztrajnostni moment diska,
- vztrajnostni moment obroča,
R D , R TO- polmeri diska in obroča.
Polmer obroča se vzame kot povprečna vrednost med notranjim in zunanjim polmerom. Ker je polmer osi nihala veliko manjši od polmera diska, lahko vztrajnostni moment osi zanemarimo.
Logični diagram metode.
Če je hitrost, določena iz zakona o ohranitvi energije po razmerju (9), enaka hitrosti, določeni kinematsko po formuli (11), potem to potrjuje ohranitev energije za izbrani sistem.
ZAKLJUČEK DELA
1. Izmerite čas padanja nihala z enim od obročev, ki jih pokaže učitelj.
2. Meritve ponovite 5-10 krat.
3. Izmeri višino padca in višino dviga nihala.
4. S čeljustjo izmerite premer osi nihala, notranji in zunanji premer obroča.
OBDELAVA REZULTATOV
1. Izračunaj povprečni čas padanja
2. Izračunaj hitrost v 1 glede na relacijo (11).
3. Izračunajte napako pri merjenju hitrosti v 1 po pravilu za izračun napake pri posrednih meritvah.
4. Izračunajte vztrajnostni moment nihala z obročem. Na njih sta označeni masi diska in obroča.
5. Izračunaj hitrost nihala v 2 glede na relacijo (9).
6. Določite mero neskladja = ( v 1 - v 2 )/ v 1 in primerjajte z relativno napako v 1 = v 1 / v 1 .
DODATNA NALOGA
Izgubo energije določite z razliko med višino padca in kasnejšo višino dviga nihala.
Izračunajte povprečno efektivno torno silo, ki povzroča izgubo energije.
VPRAŠANJA ZA KONTAKT
1. Katere vrste mehanske energije obstajajo? Podajte njihove definicije.
2. Formulirajte zakon o ohranitvi mehanske energije sistema in pogoje za njegovo izvajanje.
3. Opišite transformacijo energije za Maxwellovo nihalo.
4. Kaj je vztrajnostni moment telesa? Kolikšen je vztrajnostni moment diska ali obroča?
5. Kako se določi hitrost translacijskega gibanja Maxwellovega nihala?
